Esercizio sulle serie
Salve, ho una grande lacuna con le Serie.
Non riesco a capire cosa mi chiede l'esercizio.
Calcolare il valore della seguente somma, in funzione del numero naturale n, speci cando poi il loro comportamento asintotico per $n->+oo$:
$\sum_{j=n-1}^(n+7) (1+(-2)^(j+1))$
Ad intuito proverei con una sostituzione, per semplificare la mia somma e poter trovare il mio valore numerico, ma a dire il vero non so neanche da che parte sono girato.
Qualcuno può darmi qualche dritta?
Non riesco a capire cosa mi chiede l'esercizio.
Calcolare il valore della seguente somma, in funzione del numero naturale n, speci cando poi il loro comportamento asintotico per $n->+oo$:
$\sum_{j=n-1}^(n+7) (1+(-2)^(j+1))$
Ad intuito proverei con una sostituzione, per semplificare la mia somma e poter trovare il mio valore numerico, ma a dire il vero non so neanche da che parte sono girato.
Qualcuno può darmi qualche dritta?
Risposte
Up! =)
Dovresti usare un po' di proprietà delle sommatorie: infatti
$\sum_{j=n-1}^{n+7}(1+(-2)^{j+1})=\sum_{j=n-1}^{n+7} 1+\sum_{j=n-1}^{n+7} (-2)^{j+1}=$
la prima sommatoria ti dice che devi sommare tanti "1" per $j$ che va da $n-1$ a $n+7$ e, poiché in questo insieme ci sono sempre 9 numeri (per ogni $n$ scelto) significa che devi sommare 9 uno tra loro
$=9+\sum_{j=n-1}^{n+7}(-2)^{j+1}=$ (traslando l'indice $j$ in modo che esso parta da zero, e quindi $k=j-(n-1)$)
$=9+\sum_{k=0}^{8} (-2)^{k+n-1+1}=9+(-2)^n\sum_{k=0}^8(-2)^k$
A questo punto basta calcolare quanto vale $\sum_{k=0}^8 (-2)^k=1+(-2)+(-2)^2+\ldots+(-2)^8$: questa è la somma di una progressione geoemtrica di ragione $q=(-2)$ ed essendo noto che $\sum_{k=0}^N q^k={1-q^{N+1}}/{1-q}$ si ha
$\sum_{k=0}^8 (-2)^k={1-(-2)^{8+1}}/{1-(-2)}={1+512}/3={513}/3=171$
Pertanto
$\sum_{j=n-1}^{n+7}(1+(-2)^{j+1})=9+171\cdot (-2)^n$
$\sum_{j=n-1}^{n+7}(1+(-2)^{j+1})=\sum_{j=n-1}^{n+7} 1+\sum_{j=n-1}^{n+7} (-2)^{j+1}=$
la prima sommatoria ti dice che devi sommare tanti "1" per $j$ che va da $n-1$ a $n+7$ e, poiché in questo insieme ci sono sempre 9 numeri (per ogni $n$ scelto) significa che devi sommare 9 uno tra loro
$=9+\sum_{j=n-1}^{n+7}(-2)^{j+1}=$ (traslando l'indice $j$ in modo che esso parta da zero, e quindi $k=j-(n-1)$)
$=9+\sum_{k=0}^{8} (-2)^{k+n-1+1}=9+(-2)^n\sum_{k=0}^8(-2)^k$
A questo punto basta calcolare quanto vale $\sum_{k=0}^8 (-2)^k=1+(-2)+(-2)^2+\ldots+(-2)^8$: questa è la somma di una progressione geoemtrica di ragione $q=(-2)$ ed essendo noto che $\sum_{k=0}^N q^k={1-q^{N+1}}/{1-q}$ si ha
$\sum_{k=0}^8 (-2)^k={1-(-2)^{8+1}}/{1-(-2)}={1+512}/3={513}/3=171$
Pertanto
$\sum_{j=n-1}^{n+7}(1+(-2)^{j+1})=9+171\cdot (-2)^n$
Ti ringrazio MOLTISSIMO!
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