Esercizio sulle serie
Salve a tutti, ho il seguente esercizio da svolgere:
$\sum_{n=1}^infty \arctan(1/sqrt(n))$
Studiando $1/sqrt(n)$ affermo che è una serie a termini non negativi, in quanto per $n->infty$ ho che $sqrt(n) -> infty$ e quindi $1/sqrt(n) ->0$.
Successivamente per il limite notevole $\lim_{x->0} \arctanx/x = 1$ ho che $\lim_{x->0} \arctan(1/sqrt(n))=1/sqrt(n)$ in quanto $1/sqrt(n) -> 0$ per $n->infty$.
Detto questo posso ricondurre, tramite il criterio del confronto, la serie iniziale alla serie $\sum_{n=1}^infty 1/sqrt(n) = \sum_{n=1}^infty n^(-1/2)$.
Qui purtroppo mi fermo e non so più andare avanti.. A naso, direi che mediante il criterio della radice n-esima $lim_{n->infty} 1/sqrt(n) = 0 = L$, da cui ho che essendo $L < 1 => \sum_{n}a_n < +infty$ e quindi la serie è convergente.. Nella risoluzione dell'esercizio sulle dispense che sto seguendo invece viene detto che la serie converge..
Qualcuno può illuminarmi a riguardo? Grazie in anticipo, ciao
$\sum_{n=1}^infty \arctan(1/sqrt(n))$
Studiando $1/sqrt(n)$ affermo che è una serie a termini non negativi, in quanto per $n->infty$ ho che $sqrt(n) -> infty$ e quindi $1/sqrt(n) ->0$.
Successivamente per il limite notevole $\lim_{x->0} \arctanx/x = 1$ ho che $\lim_{x->0} \arctan(1/sqrt(n))=1/sqrt(n)$ in quanto $1/sqrt(n) -> 0$ per $n->infty$.
Detto questo posso ricondurre, tramite il criterio del confronto, la serie iniziale alla serie $\sum_{n=1}^infty 1/sqrt(n) = \sum_{n=1}^infty n^(-1/2)$.
Qui purtroppo mi fermo e non so più andare avanti.. A naso, direi che mediante il criterio della radice n-esima $lim_{n->infty} 1/sqrt(n) = 0 = L$, da cui ho che essendo $L < 1 => \sum_{n}a_n < +infty$ e quindi la serie è convergente.. Nella risoluzione dell'esercizio sulle dispense che sto seguendo invece viene detto che la serie converge..
Qualcuno può illuminarmi a riguardo? Grazie in anticipo, ciao
Risposte
Ci sono alcune imprecisioni.
Perché dici "in quanto"?
Qui dovresti scrivere $arctan(1/sqrt(n)) = 1/sqrt(n) + o(1/sqrt(n))$ oppure $arctan(1/sqrt(n)) sim 1/sqrt(n)$.
I ragionamenti fatti ti portano a dire che $sum arctan(1/sqrt(n))$ ha lo stesso carattere di $sum 1/sqrt(n)$ e qui dovresti sapere come comportarti...
"BeNdErR":
affermo che è una serie a termini non negativi, in quanto per $n->infty$ ho che $sqrt(n) -> infty$ e quindi $1/sqrt(n) ->0$.
Perché dici "in quanto"?
"BeNdErR":
ho che $\lim_{x->0} \arctan(1/sqrt(n))=1/sqrt(n)$ in quanto $1/sqrt(n) -> 0$ per $n->infty$.
Qui dovresti scrivere $arctan(1/sqrt(n)) = 1/sqrt(n) + o(1/sqrt(n))$ oppure $arctan(1/sqrt(n)) sim 1/sqrt(n)$.
I ragionamenti fatti ti portano a dire che $sum arctan(1/sqrt(n))$ ha lo stesso carattere di $sum 1/sqrt(n)$ e qui dovresti sapere come comportarti...
Il criterio della radice non serve in questo caso (ti consiglio comunque di studiarlo perché mi sa che non l'hai capito molto bene). Conosci la serie armonica $sum 1/n$?
dunque, per quanto riguarda
hai ragione, sono stato impreciso, e il modo corretto di scriverlo era $arctan(1/sqrt(n)) sim 1/sqrt(n)$. Giustamente tu mi dici che mi basta quindi studiare il comportamento di $arctan(1/sqrt(n)) sim 1/sqrt(n)$ per risolvere il mio problema.
Per quanto riguarda il criterio della radice, seguo la seguente definizione:
Sia ${a_n}_n$ una successione di numeri reali non negativi; supponiamo che: $lim_{n->+infty}(a_n)^(1/n)=L$, con $0<=L<=+infty$. Allora si ha:
1) $L<1 => \sum_n a_n < +infty$
2) $L>1 => \sum_n a_n = +infty$
ma dopo quanto mi hai detto concordo nel dire che non ho capito bene cosa intende la definizione e come applicarlo.. Supponendo di poterlo usare per l'esercizio proposto, avrei dovuto studiare $\lim_{n->+infty} (1/sqrt(n))^(1/n)$ ?
La serie armonica la conosco, ma forse il fatto di aver visto $sqrt(n)$ mi ha portato sulla strada sbagliata.. posso ricondurre $\sum_{n=1}^infty 1/sqrt(n)$ alla serie armonica dunque? nonostante la radice?
scusate le domande forse banali e stupide, grazie comunque per l'aiuto.
Qui dovresti scrivere $arctan(1/sqrt(n)) = 1/sqrt(n) + o(1/sqrt(n))$ oppure $arctan(1/sqrt(n)) sim 1/sqrt(n)$.
hai ragione, sono stato impreciso, e il modo corretto di scriverlo era $arctan(1/sqrt(n)) sim 1/sqrt(n)$. Giustamente tu mi dici che mi basta quindi studiare il comportamento di $arctan(1/sqrt(n)) sim 1/sqrt(n)$ per risolvere il mio problema.
Per quanto riguarda il criterio della radice, seguo la seguente definizione:
Sia ${a_n}_n$ una successione di numeri reali non negativi; supponiamo che: $lim_{n->+infty}(a_n)^(1/n)=L$, con $0<=L<=+infty$. Allora si ha:
1) $L<1 => \sum_n a_n < +infty$
2) $L>1 => \sum_n a_n = +infty$
ma dopo quanto mi hai detto concordo nel dire che non ho capito bene cosa intende la definizione e come applicarlo.. Supponendo di poterlo usare per l'esercizio proposto, avrei dovuto studiare $\lim_{n->+infty} (1/sqrt(n))^(1/n)$ ?
La serie armonica la conosco, ma forse il fatto di aver visto $sqrt(n)$ mi ha portato sulla strada sbagliata.. posso ricondurre $\sum_{n=1}^infty 1/sqrt(n)$ alla serie armonica dunque? nonostante la radice?
scusate le domande forse banali e stupide, grazie comunque per l'aiuto.
Che cosa dice il libro della serie armonica generalizzata \(\sum \frac{1}{n^\alpha}\)?
la serie $\sum_{n=1}^infty 1/n^\alpha$ converge se $\alpha>1$, diverge se $\alpha<=1$
la definizione era nascosta in un esercizio che ho saltato, mannaggia a me! Quindi ora tutto torna, e la serie di partenza diverge.
per quanto riguarda il criterio della radice, potresti farmi un esempio in cui si può utilizzare?
Grazie ancora e perdona la svista
la definizione era nascosta in un esercizio che ho saltato, mannaggia a me! Quindi ora tutto torna, e la serie di partenza diverge.
per quanto riguarda il criterio della radice, potresti farmi un esempio in cui si può utilizzare?
Grazie ancora e perdona la svista
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