Esercizio sulle serie

[lars1]

Sia $s_n$ la somma parziale ennesima della serie di termine generale $a_n$.
Se:
$s_n=(n-1)/(n+1)$
trovare $a_n$ e la somma della $sum_(n=1)^ooa_n$ .
Per trovare la somma faccio il $lim_(n->oo)s_n=1$, giusto?
Mentre per trovare l'espressione di $a_n$ come posso fare?

[amel3]

Se usi una serie telescopica direi che funzia... (prova che non è difficile...)

[lars1]

Non sto riuscendo a capire,devo scomporre l'espressione di $s_n$ ?

[amel3]

Cioè la mia è solo un'idea per semplificare le cose nulla più...
Voglio una serie $sum_(n=1)^ooa_n$ qualsiasi, per cui posso anche prenderla del tipo:
$sum_(n=1)^oo(b_(n+1) - b_n)$
ove $b_n$ è una successione opportuna.
Per costruzione la serie è telescopica: $sum_(k=1)^n b_(k+1) - b_k=b_2-b_1+b_3-b_2+.....=b_(n+1) -b_1$
Così:
$sum_(k=1)^n b_(k+1)=b_(n+1)-b_1=s_n$
Ora $s_n=(n-1)/(n+1)$ e allora:
$b_(n+1)-b_1=s_n=(n-1)/(n+1)$
$b_(n+1)=(n-1)/(n+1) + b_1$
Provo ad assegnare $b_1=1$ e dunque:
$b_(n+1)=(n-1)/(n+1) + 1= (2n)/(n+1)$
Perciò posso prendere $b_n$ come:
$b_1=1$
$b_n=(2(n-1))/n$ per $n>=1$
Fatto, la serie richiesta è pronta:
$sum_(n=1)^ooa_n=b_2-b_1+sum_(n=2)^oo b_(n+1) - b_n=1-1+sum_(n=2)^oo (2n)/(n+1) - (2(n-1))/n=$
$=sum_(n=2)^oo (2n)/(n+1) - (2(n-1))/n$
Cioè, il termine $a_1$ è 0.

[lars1]

Ho capito il tuo procedimento, ma non riesco a collegare bene un pò di cose.
Allora, la somma della serie dovrebbe essere il $lim_(n)s_n$, quindi per trovare la somma della serie come richiesto dall'esercizio basta fare il limite dell'espressione di $s_n$ che risulta uguale ad $1$ .
Ora se io prendo l'espressione $sum_(n=1)^oo (2n)/(n+1) - (2(n-1))/n$ trovo(tramite il computer) che la somma tende a $2$ quindi dovrebbe esserci qualcosa di sbagliato.
Sto sbagliando qualcosa nel ragionamento?

[amel3]

No, bravo, hai ragione, che scemo che sono...
Adesso ho corretto alcune cose, controlla, ma direi che funziona...
Ciao e auguri!

[lars1]

Ah grazie mille! Ho capito.
Hai qualche esercizio simile da propormi? E' l'unico di questo tipo che ho trovato.

P.s. Probabilmente tornerò a rompere le scatole con qualche altro esercizio sulle serie!

[amel3]

A dir la verità la soluzione me la sono inventata di sana pianta (modestamente...).
In effetti, esercizi di questo tipo non sono molto frequenti...
Dai, ti faccio un quiz idiota:
determinare una serie convergente che abbia somma $e^2/(e^2-1)$

[lars1]

Fatto!
Allora è una serie geometrica di ragione $1/e^2$ .
Comunque sono stato fortunato perchè prima avevo svolto un esercizio che mi chiedeva la somma ed usciva + o meno simile alla somma che mi hai dato tu.

Ora mi sono inceppato d'avanti ad un esercizio, trovare la somma della seguente serie:
$sum_(n=1)oo 5(-2/3)^n$
Allora, di sicuro è convergente poichè la possiamo scrivere come:
$sum_(n=1)oo (-1)^n 5(2/3)^n$
e quindi per il criterio di Leibniz è convergente.
Ma ora non riesco a proseguire.
Ho provato a scomporlo in due serie:
$sum_(n=1)oo 5(2/3)^2n = (5 sum_(n=0)oo (2/3)^2n) - 1 $ e quindi da come risultato 8
$sum_(n=1)oo 5(2/3)^(2n-1) = (15/2 sum_(n=0)oo (2/3)^2n) - 3/2 $ e da come risultato 12.
quindi la somma $s$ dovrebbe essere:
$s=8-12=-4$ ma controllando al pc il risultato è -2 .

[_nicola de rosa]

"lars":Fatto!
Allora è una serie geometrica di ragione $1/e^2$ .
Comunque sono stato fortunato perchè prima avevo svolto un esercizio che mi chiedeva la somma ed usciva + o meno simile alla somma che mi hai dato tu.

Ora mi sono inceppato d'avanti ad un esercizio, trovare la somma della seguente serie:
$sum_(n=1)oo 5(-2/3)^n$
Allora, di sicuro è convergente poichè la possiamo scrivere come:
$sum_(n=1)oo (-1)^n 5(2/3)^n$
e quindi per il criterio di Leibniz è convergente.
Ma ora non riesco a proseguire.
Ho provato a scomporlo in due serie:
$sum_(n=1)oo 5(2/3)^2n = (5 sum_(n=0)oo (2/3)^2n) - 1 $ e quindi da come risultato 8
$sum_(n=1)oo 5(2/3)^(2n-1) = (15/2 sum_(n=0)oo (2/3)^2n) - 3/2 $ e da come risultato 12.
quindi la somma $s$ dovrebbe essere:
$s=8-12=-4$ ma controllando al pc il risultato è -2 .

$sum_(n=1)^{+infty} 5(-2/3)^n=5*sum_(n=1)^{+infty}(-2/3)^n=5*(sum_(n=0)^{+infty}(-2/3)^n-1)=5*(1/(1-(-2/3))-1)=5*(3/5-1)=-2$

[lars1]

Siiiii l'ho risoltoo!!!! (CRedo)
avevo dimenticato di moltiplicare 1 e 3/2 per 5, quindi le due eq corrette sono:
$sum_(n=1)oo5(2/3)^2n = 5( (sum_(n=0)oo (2/3)^2n) - 1) $ e quindi da come risultato 4
$sum_(n=1)oo5(2/3)^(2n-1) = 5( (3/2 sum_(n=0)oo (2/3)^2n) - 3/2 ) $ e da come risultato 6.
Quindi $s=4-6=-2$ Giusto?
E tutto corretto?

[lars1]

Caspita la soluzione di nicola de rosa è molto più breve ed elegante della mia
Avevo dimenticato che la somma della serie geometrica di ragione q è uguale a $1/(1-q)$ anche per -1

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[_nicola de rosa]

"lars":Siiiii l'ho risoltoo!!!! (CRedo)
avevo dimenticato di moltiplicare 1 e 3/2 per 5, quindi le due eq corrette sono:
$sum_(n=1)oo5(2/3)^2n = 5( (sum_(n=0)oo (2/3)^2n) - 1) $ e quindi da come risultato 4
$sum_(n=1)oo5(2/3)^(2n-1) = 5( (3/2 sum_(n=0)oo (2/3)^2n) - 3/2 ) $ e da come risultato 6.
Quindi $s=4-6=-2$ Giusto?
E tutto corretto?

non riesco a capire la tua scomposizone, ma basta notare come fatto vedere nel mio post che $sum_(n=0)^{+infty}(-2/3)^n$ è una serie geometrica di ragione $-2/3$

[lars1]

scusami ho sbagliato a scriverla, la riscrivo:
$sum_(n=1)^oo 5(2/3)^(2n) = 5( (sum_(n=0)^oo (2/3)^(2n)) - 1) $ questo è per n pari
$sum_(n=1)^oo 5(2/3)^(2n-1) = 5( (3/2 sum_(n=0)^oo (2/3)^(2n)) - 3/2 ) $ per n dispari
Quindi:
$sum_(n=1)^oo 5(- 2/3)^(n) = 5( (sum_(n=0)^oo (2/3)^(2n)) - 1) - 5( (3/2 sum_(n=0)^oo (2/3)^2n) - 3/2 ) $
Sono riuscito a spiegarmi?

[_nicola de rosa]

"lars":scusami ho sbagliato a scriverla, la riscrivo:
$sum_(n=1)^oo 5(2/3)^(2n) = 5( (sum_(n=0)^oo (2/3)^(2n)) - 1) $ questo è per n pari
$sum_(n=1)^oo 5(2/3)^(2n-1) = 5( (3/2 sum_(n=0)^oo (2/3)^(2n)) - 3/2 ) $ per n dispari
Quindi:
$sum_(n=1)^oo 5(- 2/3)^(n) = 5( (sum_(n=0)^oo (2/3)^(2n)) - 1) - 5( (3/2 sum_(n=0)^oo (2/3)^2n) - 3/2 ) $
Sono riuscito a spiegarmi?

riscrivo meglio il tuo procedimento che è giusto, ma va scritto per bene altrimenti non si capisce:
$sum_(n=1)^{+infty} 5(-2/3)^n=sum_(n=1)^{+infty} 5(-2/3)^(2n) = 5( sum_(n=0)^{+infty}(4/9)^n - 1)=5*(1/(1-4/9)-1)=4$ questo è per n pari
$sum_(n=1)^{+infty} 5(-2/3)^(n)=sum_(n=1)^{+infty}5(-2/3)^(2n-1) = 5*( -3/2)* sum_(n=1)^{+infty} (-2/3)^(2n) =5*( -3/2)* (sum_(n=0)^{+infty} (-2/3)^(2n) -1)=5*(-3/2)( sum_(n=0)^{+infty} (4/9)^n - 1)=5*(-3/2)(1/(1-4/9)-1)=-6 $ per n dispari
per cui
$sum_(n=1)^{+infty} 5(-2/3)^n=4-6=-2$

[lars1]

Ho una nuova serie che mi assilla:
$sum_(n=1)^oo 1/((4n+1)(4n-3))$
Allora, io ho fatto in questo modo:
$1/((4n+1)(4n-3))=(-1/4)(1/(4n+1) - 1/(4n-3))$
Quindi la serie la posso scrivere come:
$(-1/4) sum_(n=1)^oo (1/(4n+1) - 1/(4n-3))$
Che è una serie del tipo:
$(-1/4) sum_(n=1)^oo (b_(n+4) - b_n)$ (una specie di serie telescopica)
Quindi il risultato dovrebbe essere:
$(-1/4)(lim_(n)b_n - sum_(n=1)^4 b_n )$
che è: $(1/4)(1+1/5+1/9+1/13)$
Ma controllando al computer, il risultato giusto è $1/4$, come se non si dovessero calcolare i termini correttivi $1/5+1/9+1/13$ c'è qualcosa che sto sbagliano(sicuramente si)?
C'è qualche altro metodo risolutivo + veloce ed efficace e probabilmente più corretto?

[_luca.barletta]

sviluppando hai:

$(1/5-1)+(1/9-1/5)+(1/13-1/9)+...=-1$

quindi torna

[lars1]

Scusatemi se mi rispondo da solo ma mi son reso conto che ho scritto una cavolata:
$(-1/4) sum_(n=1)^oo (1/(4n+1) - 1/(4n-3))$
Non è una serie del tipo:
$(-1/4) sum_(n=1)^oo (b_(n+4) - b_n)$

Ma comunque non riesco ad andare avanti ugualmente!

[_luca.barletta]

hai letto sopra?

[lars1]

Ahhh, ecco, basta che sviluppo questa:
$(-1/4) sum_(n=1)^oo (1/(4n+1) - 1/(4n-3))$
.... Che cernia che sono!