Esercizio sulle serie

[mauri54]

Buonasera a tutti. Avrei questo esercizio da risolvere
Determinare un \( n\in\mathbb{Z}_+ \) tale che \( \Big|f(\frac{1}{\sqrt{e}})-\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}}(\log(\frac{1}{\sqrt{e}}))^k\Big|=\Big|f(\frac{1}{\sqrt{e}})-\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{2^kk}\Big|<\frac{1}{100} \) dove \( f(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{k}}(\log{x})^k\qquad\forall x\in[\frac{1}{e},e) \).
Per cominciare a fare qualcosa ho pensato di riscrivermi la differenza in modulo con il resto (n+1)-esimo della serie \( \Big|\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{2^kk}\Big| \)
ma poi non so più andare aventi.

[pilloeffe]

Ciao mauri54,

Beh, esiste un simpatico corollario del Criterio di Leibnitz sulle serie a termini di segno alterno che afferma che si ha:

$|r_n| = |S - s_n| <= a_{n + 1} $

Nel caso in esame si ha:

$S := f(1/sqrt{e}) = \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{k}}(\log(1/sqrt{e}))^k = \sum_{k=1}^{+\infty} (-1)^k \frac{1}{2^k \sqrt{k}} = \sum_{k=1}^{+\infty} (-1)^k a_k $

$s_n := \sum_{k=1}^{n} (-1)^k \frac{1}{2^k \sqrt{k}} = \sum_{k=1}^{n} (-1)^k a_k $

$a_{n + 1} = \frac{1}{2^{n + 1} \sqrt{n + 1}} $

Per cui $ \frac{1}{2^{n + 1} \sqrt{n + 1}} <= 1/100 \implies 2^{n + 1} \sqrt{n + 1} >= 100 \implies n >= 5$