Esercizio sulle serie
Sia $p_n -> + \infty$ una successione strettamente crescente di reali positivi e sia $\sum a_n$ una serie convergente. Mostrare che
$lim 1/{p_n} \sum_{k=1}^n p_k a_k = 0$
Io ho pensato che posso usare il teorema di Cesaro per cui
$lim 1/{p_n} \sum_{k=1}^n p_k a_k = lim {\sum_{k=1}^{n+1} p_k a_k - \sum_{k=1}^n p_k a_k } / {p_{n+1} - p_n} = lim a_n / {(1-p_n/p_{n+1})} $
la convergenza della serie $\sum a_n$ ci dice che $a_n -> 0$. Se $lim p_n/{p_{n+1}} \ne 1$ ho finito, altrimenti che faccio ? Grazie in anticipo.
$lim 1/{p_n} \sum_{k=1}^n p_k a_k = 0$
Io ho pensato che posso usare il teorema di Cesaro per cui
$lim 1/{p_n} \sum_{k=1}^n p_k a_k = lim {\sum_{k=1}^{n+1} p_k a_k - \sum_{k=1}^n p_k a_k } / {p_{n+1} - p_n} = lim a_n / {(1-p_n/p_{n+1})} $
la convergenza della serie $\sum a_n$ ci dice che $a_n -> 0$. Se $lim p_n/{p_{n+1}} \ne 1$ ho finito, altrimenti che faccio ? Grazie in anticipo.
Risposte
Che \(\frac{p_n}{p_{n+1}}<1\) segue dall'ipotesi di stretta monotonia.
Tuttavia, il rapporto \(\frac{p_n}{p_{n+1}}\) potrebbe tendere ad \(1\) e, perciò, farti ricadere il terzo limite della catena nella forma indeterminata \(\frac{0}{0}\). Infatti, le sole ipotesi \(p_n\to \infty\) e \(p_n>p_{n+1}\) non bastano ad escludere che \(\frac{p_n}{p_{n+1}}\to 1\): prendi, ad esempio, \(p_n:=n^2\).
Quindi dubito che, se l'enunciato è vero, tu possa usare il teorema di Cesàro per dimostrarlo.
Tuttavia, il rapporto \(\frac{p_n}{p_{n+1}}\) potrebbe tendere ad \(1\) e, perciò, farti ricadere il terzo limite della catena nella forma indeterminata \(\frac{0}{0}\). Infatti, le sole ipotesi \(p_n\to \infty\) e \(p_n>p_{n+1}\) non bastano ad escludere che \(\frac{p_n}{p_{n+1}}\to 1\): prendi, ad esempio, \(p_n:=n^2\).
Quindi dubito che, se l'enunciato è vero, tu possa usare il teorema di Cesàro per dimostrarlo.
Proverei usando, sostanzialmente, la formula di sommazione per parti; posto \(A_n := \sum_{k=1}^n a_k\), si ha
\[
\frac{1}{p_n} \sum_{k=1}^n p_k a_k =
\frac{1}{p_n} \left[\sum_{k=1}^{n-1} A_k (p_k - p_{k+1}) + A_n p_n \right].
\]
Tenendo conto che, per ipotesi, \((A_n)\) è convergente, dovrebbe essere possibile concludere.
\[
\frac{1}{p_n} \sum_{k=1}^n p_k a_k =
\frac{1}{p_n} \left[\sum_{k=1}^{n-1} A_k (p_k - p_{k+1}) + A_n p_n \right].
\]
Tenendo conto che, per ipotesi, \((A_n)\) è convergente, dovrebbe essere possibile concludere.
Ovviamente possiamo limitarci a considerare il caso $a_n \geq 0$.
Fissato $\epsilon \>0$ esiste $N$ tale che :\(\sum_{n=N+1}^{\infty}a_{n}<\epsilon\)
e quindi pe $n>N$:
$\sum_{k=1}^{n}p_{k}a_{k}=\sum_{k=1}^{N}p_{k}a_{k}+\sum_{k=N+1}^{n}p_{k}a_{k}
da cui:
$\frac{1}{p_{n}}\sum_{k=1}^{n}p_{k}a_{k}<\frac{A}{p_{n}}+\epsilon$
A questo punto la conclusione mi sembra immediata .
Fissato $\epsilon \>0$ esiste $N$ tale che :\(\sum_{n=N+1}^{\infty}a_{n}<\epsilon\)
e quindi pe $n>N$:
$\sum_{k=1}^{n}p_{k}a_{k}=\sum_{k=1}^{N}p_{k}a_{k}+\sum_{k=N+1}^{n}p_{k}a_{k}
da cui:
$\frac{1}{p_{n}}\sum_{k=1}^{n}p_{k}a_{k}<\frac{A}{p_{n}}+\epsilon$
A questo punto la conclusione mi sembra immediata .
"totissimus":
Ovviamente possiamo limitarci a considerare il caso $a_n \geq 0$.
Perché?
@Rigel :Ero convinto di aver letto che $a_n$ fosse assolutamente convergente. Modifico leggermente il ragionamento:
Fissato $\epsilon >0'$ esiste $N$ tale che \(\left|\sum_{k=i}^{j}a_{k}\right|<\epsilon\) per $j>i>=N$
\(\sum_{k=N}^{n}a_{k}p_{k}=\sum_{k=N}^{n}a_{k}\left(\sum_{i=N}^{k-1}\left(p_{i+1}-p_{i}\right)+p_{n}\right)=\sum_{k=N}^{n}a_{k}\sum_{i=N}^{k-1}\left(p_{i+1}-p_{i}\right)+p_{N}\sum_{k=N}^{n}a_k=\)
\(=\sum_{i=N}^{n-1}\left(p_{i+1}-p_{i}\right)\sum_{k=i+1}^{n}a_{k}+p_{N}\sum_{k=}^{n}a_{k}\)
Prendendo il valore assoluto:
\(\left|\sum_{k=N}^{n}p_{k}a_{k}\right|\leq\sum_{i=N}^{n-1}\left(p_{i+1}-p_{i}\right)\left|\sum_{k=i+1}^{n}a_{k}\right|+p_{N}\left|\sum_{k=}^{n}a_{k}\right|\leq\epsilon\sum_{i=N}^{n-1}\left(p_{i+1}-p_{i}\right)+p_{N}\epsilon=\epsilon p_{n}\)
Quindi
\(\left|\frac{1}{p_{n}}\sum_{k=1}^{n}p_{k}a_{k}\right|\leq\frac{1}{p_{n}}\left|\sum_{k=1}^{N-1}p_{k}a_{k}\right|+\frac{1}{p_{n}}\left|\sum_{k=N}^{n}p_{k}a_{k}\right|\leq\frac{A}{p_{n}}+\frac{1}{p_{n}}\epsilon p_{n}=\frac{A}{p_{n}}+\epsilon\)
Da qui dovrebbe seguire l'asserto (forse!)
Fissato $\epsilon >0'$ esiste $N$ tale che \(\left|\sum_{k=i}^{j}a_{k}\right|<\epsilon\) per $j>i>=N$
\(\sum_{k=N}^{n}a_{k}p_{k}=\sum_{k=N}^{n}a_{k}\left(\sum_{i=N}^{k-1}\left(p_{i+1}-p_{i}\right)+p_{n}\right)=\sum_{k=N}^{n}a_{k}\sum_{i=N}^{k-1}\left(p_{i+1}-p_{i}\right)+p_{N}\sum_{k=N}^{n}a_k=\)
\(=\sum_{i=N}^{n-1}\left(p_{i+1}-p_{i}\right)\sum_{k=i+1}^{n}a_{k}+p_{N}\sum_{k=}^{n}a_{k}\)
Prendendo il valore assoluto:
\(\left|\sum_{k=N}^{n}p_{k}a_{k}\right|\leq\sum_{i=N}^{n-1}\left(p_{i+1}-p_{i}\right)\left|\sum_{k=i+1}^{n}a_{k}\right|+p_{N}\left|\sum_{k=}^{n}a_{k}\right|\leq\epsilon\sum_{i=N}^{n-1}\left(p_{i+1}-p_{i}\right)+p_{N}\epsilon=\epsilon p_{n}\)
Quindi
\(\left|\frac{1}{p_{n}}\sum_{k=1}^{n}p_{k}a_{k}\right|\leq\frac{1}{p_{n}}\left|\sum_{k=1}^{N-1}p_{k}a_{k}\right|+\frac{1}{p_{n}}\left|\sum_{k=N}^{n}p_{k}a_{k}\right|\leq\frac{A}{p_{n}}+\frac{1}{p_{n}}\epsilon p_{n}=\frac{A}{p_{n}}+\epsilon\)
Da qui dovrebbe seguire l'asserto (forse!)
@totissimus:
così mi sembra a posto; dovrebbe essere equivalente all'uso della formula di sommazione per parti che ho scritto nel mio primo post.
Infatti, partendo dalla formula
\[
\frac{1}{p_n} \sum_{k=1}^n p_k a_k =
\frac{1}{p_n} \left[\sum_{k=1}^{n-1} A_k (p_k - p_{k+1}) + A_n p_n\right]
\]
con \(A_n := \sum_{k=1}^n a_k\), e utilizzando il fatto che per ipotesi \(\lim_n A_n = A \in\mathbb{R}\), con qualche passaggio si ha
\[
\frac{1}{p_n} \sum_{k=1}^n p_k a_k =
A_n - A \left(1-\frac{p_1}{p_n}\right) -
\frac{1}{p_n}\sum_{k=1}^{n-1} (A_k - A)(p_k - p_{k+1})\,.
\]
Ora basta ricordare che \(p_n\to +\infty\) e osservare che l'ultima sommatoria tende a \(0\) per \(n\to +\infty\).
così mi sembra a posto; dovrebbe essere equivalente all'uso della formula di sommazione per parti che ho scritto nel mio primo post.
Infatti, partendo dalla formula
\[
\frac{1}{p_n} \sum_{k=1}^n p_k a_k =
\frac{1}{p_n} \left[\sum_{k=1}^{n-1} A_k (p_k - p_{k+1}) + A_n p_n\right]
\]
con \(A_n := \sum_{k=1}^n a_k\), e utilizzando il fatto che per ipotesi \(\lim_n A_n = A \in\mathbb{R}\), con qualche passaggio si ha
\[
\frac{1}{p_n} \sum_{k=1}^n p_k a_k =
A_n - A \left(1-\frac{p_1}{p_n}\right) -
\frac{1}{p_n}\sum_{k=1}^{n-1} (A_k - A)(p_k - p_{k+1})\,.
\]
Ora basta ricordare che \(p_n\to +\infty\) e osservare che l'ultima sommatoria tende a \(0\) per \(n\to +\infty\).
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