Esercizio sulle serie
Potreste controllare se il seguente esercizio è svolto correttamente?
Discutere la convergenza della serie $ sum_{n=2}^infty (a^2-1)^logn $ al variare le parametro reale $ a $ .
Per prima cosa ho introdotto una limitazione attraverso la condizione necessaria:
$ lim_{n->infty} (a^2-1)^logn=0 -> |a^2-1|<1 $
dunque $ a $ appartiene a $ (-\sqrt2;\sqrt2)-{0} $ .
Poiché il termine generale è positivo e infinitesimo sara definitivamente decrescente, per questo posso applicare il criterio di condensazione:
considero $ sum_{n=2}^infty 2^n(a^2-1)^log(2^n)=sum_{n=2}^infty 2^n(a^2-1)^(nlog2) $ poiché la base del logaritmo non compromette il carattere della serie considero $ sum_{n=2}^infty [2(a^2-1)]^n $ sulla quale lavoro con i criteri delle serie geometriche.
Discutere la convergenza della serie $ sum_{n=2}^infty (a^2-1)^logn $ al variare le parametro reale $ a $ .
Per prima cosa ho introdotto una limitazione attraverso la condizione necessaria:
$ lim_{n->infty} (a^2-1)^logn=0 -> |a^2-1|<1 $
dunque $ a $ appartiene a $ (-\sqrt2;\sqrt2)-{0} $ .
Poiché il termine generale è positivo e infinitesimo sara definitivamente decrescente, per questo posso applicare il criterio di condensazione:
considero $ sum_{n=2}^infty 2^n(a^2-1)^log(2^n)=sum_{n=2}^infty 2^n(a^2-1)^(nlog2) $ poiché la base del logaritmo non compromette il carattere della serie considero $ sum_{n=2}^infty [2(a^2-1)]^n $ sulla quale lavoro con i criteri delle serie geometriche.
Risposte
Il termine generale della serie è una potenza ad esponente reale positivo, dunque è definito solo dove la base è \(\geq 0\), vale a dire per \(a^2-1\geq 0\).
Tenendo conto di questa restrizione mi sembra che il resto vada bene.
Tenendo conto di questa restrizione mi sembra che il resto vada bene.
Grazie mille!
P.S.: A proposito della condizione per le potenze ho questo dubbio :
per studiare la convergenza di una serie geometrica $ sum_{n=0}^infty q^n $ pongo $ |q|<1 $ senza la condizione $ q>=0 $ . In altri casi come in $ f(x)^g(x) $ devo porre $ f(x)>=0 $ ...
Perché non vale la stessa cosa in ogni situazione?
P.S.: A proposito della condizione per le potenze ho questo dubbio :
per studiare la convergenza di una serie geometrica $ sum_{n=0}^infty q^n $ pongo $ |q|<1 $ senza la condizione $ q>=0 $ . In altri casi come in $ f(x)^g(x) $ devo porre $ f(x)>=0 $ ...
Perché non vale la stessa cosa in ogni situazione?
Nel caso di \(q^n\) hai una potenza ad esponente intero positivo, che è definita per ogni valore di \(q\).
I problemi ce li hai in caso di potenze ad esponente reale, per le quali la base deve essere positiva (puoi eventualmente considerare il caso di base nulla, quando l'esponente è reale positivo, per estensione continua).
I problemi ce li hai in caso di potenze ad esponente reale, per le quali la base deve essere positiva (puoi eventualmente considerare il caso di base nulla, quando l'esponente è reale positivo, per estensione continua).
Ok perfetto!
@Pierluigi.
Piccola osservazione,da un estimatore del criterio di condensazione
(non del suo "responsabile",ma solo perché m'è costato da solo $1/4$ dei neuroni che avevo destinato alla Scienza
):
col criterio della radice te la cavavi in un amen,
tolto il tempo da dedicare inevitabilmente alla condizione d'esistenza cui accennava Rigel
.
Come dici?
Quel criterio è sempre dovuto al buon Augustin
?
Va' beh:
mica è colpa mia se era un ficcanaso su ogni questione della Matematica !
Saluti dal web.
Edit.
Avevo scambiato gli autori delle osservazioni..
Piccola osservazione,da un estimatore del criterio di condensazione
(non del suo "responsabile",ma solo perché m'è costato da solo $1/4$ dei neuroni che avevo destinato alla Scienza
):col criterio della radice te la cavavi in un amen,
tolto il tempo da dedicare inevitabilmente alla condizione d'esistenza cui accennava Rigel
.Come dici?
Quel criterio è sempre dovuto al buon Augustin
?Va' beh:
mica è colpa mia se era un ficcanaso su ogni questione della Matematica
!Saluti dal web.
Edit.
Avevo scambiato gli autori delle osservazioni..
Usando il criterio della radice, come mi hai suggerito, non sono riuscito ad arrivare alla conclusione perché il limite mi viene 1... tu come lo useresti?
"Rigel":
Nel caso di \(q^n\) hai una potenza ad esponente intero positivo, che è definita per ogni valore di \(q\).
I problemi ce li hai in caso di potenze ad esponente reale, per le quali la base deve essere positiva (puoi eventualmente considerare il caso di base nulla, quando l'esponente è reale positivo, per estensione continua).
Scusa se continuo ad insistere sullo stesso argomento ma stavo notando una cosa... se considero $ h(x)=x^x $ per $ x=-3 $ esiste ed è $ h(-3)=(-3)^-3=(-1/3)^3 $ ...
Il fatto di porre $ f(x)>0 $ in $ f(x)^g(x) $ ( $ x>0 $ in questo caso) è quindi solo una convenzione per evitare troppe considerazioni sulla natura dell'esponente?
@Pierluigi.
Innanzitutto evidenzio un mio errore tecnico,dovuto ad una disattenzione banale quanto grave in questo contesto
(sopratutto sapendo per esperienza quanto poco ci voglia in casi del genere a scambiare fischi per fiaschi in seguito ad un'inezia
),
nel considerare l'andamento del segno della derivata della famiglia di funzioni $f_a(x)=(a^2-1)^(("log"x)/x):(0,+oo) to RR$
(sulle ragioni della scelta di questo dominio,
della quale s'è comunque parlato abbondantamente in passato su questo Forum nel quale è attiva la funzione Cerca ),
aspetto Rigel e,se non rispondesse e tu non trovi nulla,un tuo eventuale fischio..);
ciò detto evidenzio però che la ragione per la quale mi son rifatto a quella funzione è che il criterio in questione
(e non quello da te citato,che ne è corollario..)afferma come una serie numerica,
a termini non negativi il cui termine generale è definitivamente maggiorato da un numero reale non negativo e strettamente minore di $1$,sia convergente:
ed io,per quell'errore citato,
avevo dedotto dallo studio di quella funzione che l'estremo superiore(anzi massimo..)della successione di termine generale $(a^2-1)^(("log"n)/n)$ fosse,$AA a in (1,sqrt(2))$,$(a^2-1)^(("log"3)/3)<1$..
Saluti dal web.
Innanzitutto evidenzio un mio errore tecnico,dovuto ad una disattenzione banale quanto grave in questo contesto
(sopratutto sapendo per esperienza quanto poco ci voglia in casi del genere a scambiare fischi per fiaschi in seguito ad un'inezia
),nel considerare l'andamento del segno della derivata della famiglia di funzioni $f_a(x)=(a^2-1)^(("log"x)/x):(0,+oo) to RR$
(sulle ragioni della scelta di questo dominio,
della quale s'è comunque parlato abbondantamente in passato su questo Forum nel quale è attiva la funzione Cerca
),aspetto Rigel e,se non rispondesse e tu non trovi nulla,un tuo eventuale fischio..);
ciò detto evidenzio però che la ragione per la quale mi son rifatto a quella funzione è che il criterio in questione
(e non quello da te citato,che ne è corollario..)afferma come una serie numerica,
a termini non negativi il cui termine generale è definitivamente maggiorato da un numero reale non negativo e strettamente minore di $1$,sia convergente:
ed io,per quell'errore citato,
avevo dedotto dallo studio di quella funzione che l'estremo superiore(anzi massimo..)della successione di termine generale $(a^2-1)^(("log"n)/n)$ fosse,$AA a in (1,sqrt(2))$,$(a^2-1)^(("log"3)/3)<1$..
Saluti dal web.
"Pierlu11":
Il fatto di porre $ f(x)>0 $ in $ f(x)^g(x) $ ( $ x>0 $ in questo caso) è quindi solo una convenzione per evitare troppe considerazioni sulla natura dell'esponente?
Di fatto sì. Le potenze con esponente reale possono essere definite in vari modi, ma in ogni caso hai bisogno che la base sia positiva. D'altra parte, quando l'esponente si riduce a un intero positivo, non hai bisogno di invocare la costruzione delle potenze ad esponente reale, perché ti riduci a moltiplicare il numero per se stesso il dato numero di volte (si tratta dunque di una operazione puramente algebrica). Le stesse considerazioni possono essere estese alle potenze con esponente razionale.
Per tradizione, però, si usa lo stesso simbolo per indicare le due funzioni, e la cosa può causare problemi di interpretazione.
Tale interpretazione, di norma, dovrebbe però risultare chiara dal contesto.
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