Esercizio sulle Funzioni iniettive e surgettive
Ho questo esercizio:
dati gli insiemi : $A ={1,2,3,4,5,6,7,8}$ e $ B= {alpha,beta} $
dire motivando la risposta:
a) quante sono le funzioni $f: A->B $ iniettive
b) quante sono le funzioni $f: A->B$ surgettive
per il quesito A mi viene da dire : $D_(8,2)= (8!)/((8-2)! )= (8!)/(6!) = 56 $
ma non lo so e comunque non riesco a fare il discorso generale per risolvere questo tipo di problemi.
Mi potete cortesemente aiutare? Grazie.
Roby
dati gli insiemi : $A ={1,2,3,4,5,6,7,8}$ e $ B= {alpha,beta} $
dire motivando la risposta:
a) quante sono le funzioni $f: A->B $ iniettive
b) quante sono le funzioni $f: A->B$ surgettive
per il quesito A mi viene da dire : $D_(8,2)= (8!)/((8-2)! )= (8!)/(6!) = 56 $
ma non lo so e comunque non riesco a fare il discorso generale per risolvere questo tipo di problemi.
Mi potete cortesemente aiutare? Grazie.
Roby
Risposte
Per definizione di funzione, tutti gli elementi di $A$ devono andare a finire in un elemento di $B$. Questo vuol dire che, essendo gli elementi di $A$ in più rispetto a quelli di $B$ ci saranno sempre almeno due elementi di $A$ che vanno a finire in $\alpha$ (o in $\beta$). Ne segue che non hai funzione iniettive.
Per le funzioni suriettive, ti basta calcolare in quanti modi possibili puoi accoppiare gli elementi di $A$ e di $B$, osservando che devi almeno essere sicuro di mandare una volta un elemento in $\alpha$ e uno in $\beta$. Per calcolare quante sono, basta ragionare così: se costruisci una tabella verticale in cui alla cima di ogni colonna c'è un elemento di $A$, allora puoi elencare tutte le possibili funzioni scrivendo nelle colonne delle sequenze di $\alpha$ e $\beta$, una cosa così:
$|(1,2,3,4,5,6,7,8),(\alpha,\alpha,\alpha,\alpha,\alpha,\alpha,\alpha,\alpha),(\alpha,\alpha,\alpha,\alpha,\alpha,\alpha,\alpha,\beta),(\alpha,\alpha,\alpha,\alpha,\alpha,\alpha,\beta,\beta),(\alpha,\alpha,\alpha,\alpha,\alpha,\beta,\beta,\beta),(...,...,...,...,...,...,...,...),(\beta,\beta,\beta,\beta,\beta,\beta,\beta,\beta)|$
Se osservi questa tabella contiene esattamente $2^8=256$ righe (due elementi da scegliere in otto posizioni diverse) e le uniche righe da scartare sono la prima e l'ultima (contengono solo $\alpha$ o solo $\beta$). Questo ti dice che il numero di funzioni suriettive è $254$.
Per le funzioni suriettive, ti basta calcolare in quanti modi possibili puoi accoppiare gli elementi di $A$ e di $B$, osservando che devi almeno essere sicuro di mandare una volta un elemento in $\alpha$ e uno in $\beta$. Per calcolare quante sono, basta ragionare così: se costruisci una tabella verticale in cui alla cima di ogni colonna c'è un elemento di $A$, allora puoi elencare tutte le possibili funzioni scrivendo nelle colonne delle sequenze di $\alpha$ e $\beta$, una cosa così:
$|(1,2,3,4,5,6,7,8),(\alpha,\alpha,\alpha,\alpha,\alpha,\alpha,\alpha,\alpha),(\alpha,\alpha,\alpha,\alpha,\alpha,\alpha,\alpha,\beta),(\alpha,\alpha,\alpha,\alpha,\alpha,\alpha,\beta,\beta),(\alpha,\alpha,\alpha,\alpha,\alpha,\beta,\beta,\beta),(...,...,...,...,...,...,...,...),(\beta,\beta,\beta,\beta,\beta,\beta,\beta,\beta)|$
Se osservi questa tabella contiene esattamente $2^8=256$ righe (due elementi da scegliere in otto posizioni diverse) e le uniche righe da scartare sono la prima e l'ultima (contengono solo $\alpha$ o solo $\beta$). Questo ti dice che il numero di funzioni suriettive è $254$.
254 è confermato dalla formula $2!*S(8,2)=2*127=254$, dove gli $S(n,k)$ sono i numeri di Stirling di seconda specie.
forse può esserti utile questa discussione:
https://www.matematicamente.it/forum/fun ... 30986.html
ciao.
forse può esserti utile questa discussione:
https://www.matematicamente.it/forum/fun ... 30986.html
ciao.
Ada.... volevi dire 254 vero? 
sì, certo, avevo verificato che fosse lo stesso numero e poi ho copiato dal rigo sbagliato...
grazie, ora correggo. ciao.
grazie, ora correggo. ciao.
Ma dai, che stavo scherzando! Lo so che volevi dire 254!
certo che si era capito... ma era comunque sbagliato!
Siete troppo bravi, preparati e disponibili.
Grazie infinite.
Roby. Ora ci studio sopra poi vi diro'.
Grazie infinite.
Roby. Ora ci studio sopra poi vi diro'.
Quel post citato nel Forum è interessante. Ma vi chiedo conoscete qualche cosa accessibile con Internet dove si parla di Funzioni tra insiemi finiti ecc. ecc. : Funzioni iniettive , surgettive e via cosi'.
Io ho qui una decina di pagine dal titolo :
Funzioni tra insiemi finiti Numeri di Stirling e Bell di " Davide Penazzi" .
Qualcosa di piu' articolato e completo?
Grazie Roby
Io ho qui una decina di pagine dal titolo :
Funzioni tra insiemi finiti Numeri di Stirling e Bell di " Davide Penazzi" .
Qualcosa di piu' articolato e completo?
Grazie Roby
prego.
io ai miei tempi ho studiato per lo più sulle dispense ... e non sono a conoscenza di qualche testo particolarmente buono da consigliarti.
però, su internet... hai parecchie "parole chiave": usa qualche motore di ricerca!
io ai miei tempi ho studiato per lo più sulle dispense ... e non sono a conoscenza di qualche testo particolarmente buono da consigliarti.
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