Esercizio sulle funzioni continue
Credo di aver risolto il seguente esercizio senza utilizzare un'ipotesi data:
If a mapping \(\displaystyle f:[0,1]→[0,1] \) is continuous, \(\displaystyle f(0)=0, f(1)=1 \) and \(\displaystyle (f\circ f)(x)\equiv x \) on \(\displaystyle [0,1]\Rightarrow f(x)\equiv x \).
Senza stare a riportare la dimostrazione formale, la riporto direttamente in forma visiva che è immediata.
\(\displaystyle f(f(x))≡x \Rightarrow f \) invertibile, in particolare è iniettiva. Se per assurdo esistesse un \(\displaystyle x_0\in [0,1] \) tale che \(\displaystyle f(x_0 )>x_0 \):
[fcd="schema"][FIDOCAD]
LI 255 65 385 65 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 270 60 270 70 0
LI 370 60 370 70 0
TY 270 50 4 3 0 0 0 * 0
TY 370 50 4 3 0 0 0 * 1
LI 255 110 385 110 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 270 105 270 115 0
LI 370 105 370 115 0
TY 270 120 4 3 0 0 0 * 0
TY 370 120 4 3 0 0 0 * 1
SA 305 65 0
SA 335 110 0
SA 335 65 0
SA 305 110 0
BE 305 65 305 80 335 85 335 110 0
FCJ 3 0 3 2 0 0
TY 303 54 4 3 0 0 0 * x
TY 306 57 2 2 0 0 0 * 0
TY 332 55 4 3 0 0 0 * f(x )
TY 342 58 2 2 0 0 0 * 0
TY 332 113 4 3 0 0 0 * f(x )
TY 342 116 2 2 0 0 0 * 0
TY 305 113 4 3 0 0 0 * x
TY 308 116 2 2 0 0 0 * 0
BE 335 65 335 80 305 85 305 110 0
FCJ 3 0 3 2 0 0
SA 290 65 0
TY 288 55 4 3 0 0 0 * x
TY 288 53 4 3 0 0 0 * ~
BE 290 65 290 85 300 105 305 110 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 25 65 155 65 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 40 60 40 70 0
LI 140 60 140 70 0
TY 40 50 4 3 0 0 0 * 0
TY 140 50 4 3 0 0 0 * 1
LI 25 110 155 110 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 40 105 40 115 0
LI 140 105 140 115 0
TY 40 120 4 3 0 0 0 * 0
TY 140 120 4 3 0 0 0 * 1
SA 75 65 0
SA 105 110 0
SA 105 65 0
SA 75 110 0
BE 75 65 75 80 105 85 105 110 0
FCJ 3 0 3 2 0 0
TY 73 54 4 3 0 0 0 * x
TY 76 57 2 2 0 0 0 * 0
TY 102 55 4 3 0 0 0 * f(x )
TY 112 58 2 2 0 0 0 * 0
TY 102 113 4 3 0 0 0 * f(x )
TY 112 116 2 2 0 0 0 * 0
TY 75 113 4 3 0 0 0 * x
TY 78 116 2 2 0 0 0 * 0
BE 105 65 105 80 75 85 75 110 0
FCJ 3 0 3 2 0 0
LI 181 91 211 91 0
LI 181 96 211 96 0
LI 211 86 211 101 0
LI 211 101 221 94 0
LI 221 94 211 86 0
TY 167 70 4 3 0 0 0 * teorema dei valori
TY 167 76 4 3 0 0 0 * intermedi per f. continue
LI 40 65 40 110 0
FCJ 3 0 3 2 0 0
LI 270 65 270 110 0
FCJ 3 0 3 2 0 0
LI 270 65 305 65 2
LI 270 110 335 110 2[/fcd]
che è assurdo perché \(\displaystyle f \) deve essere iniettiva.
Analogamente se fosse \(\displaystyle f(x_0)
[fcd="schema 2"][FIDOCAD]
LI 255 65 385 65 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 270 60 270 70 0
LI 370 60 370 70 0
TY 270 50 4 3 0 0 0 * 0
TY 370 50 4 3 0 0 0 * 1
LI 255 110 385 110 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 270 105 270 115 0
LI 370 105 370 115 0
TY 270 120 4 3 0 0 0 * 0
TY 370 120 4 3 0 0 0 * 1
SA 305 65 0
SA 335 110 0
SA 335 65 0
SA 305 110 0
BE 305 65 305 80 335 85 335 110 0
FCJ 3 0 3 2 0 0
TY 333 54 4 3 0 0 0 * x
TY 336 57 2 2 0 0 0 * 0
TY 297 55 4 3 0 0 0 * f(x )
TY 307 58 2 2 0 0 0 * 0
TY 297 113 4 3 0 0 0 * f(x )
TY 307 116 2 2 0 0 0 * 0
TY 335 113 4 3 0 0 0 * x
TY 338 116 2 2 0 0 0 * 0
BE 335 65 335 80 305 85 305 110 0
FCJ 3 0 3 2 0 0
SA 290 65 0
TY 288 55 4 3 0 0 0 * x
TY 288 53 4 3 0 0 0 * ~
BE 290 65 290 85 300 105 305 110 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 25 65 155 65 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 40 60 40 70 0
LI 140 60 140 70 0
TY 40 50 4 3 0 0 0 * 0
TY 140 50 4 3 0 0 0 * 1
LI 25 110 155 110 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 40 105 40 115 0
LI 140 105 140 115 0
TY 40 120 4 3 0 0 0 * 0
TY 140 120 4 3 0 0 0 * 1
SA 75 65 0
SA 105 110 0
SA 105 65 0
SA 75 110 0
BE 75 65 75 80 105 85 105 110 0
FCJ 3 0 3 2 0 0
TY 103 54 4 3 0 0 0 * x
TY 106 57 2 2 0 0 0 * 0
TY 67 55 4 3 0 0 0 * f(x )
TY 77 58 2 2 0 0 0 * 0
TY 67 113 4 3 0 0 0 * f(x )
TY 77 116 2 2 0 0 0 * 0
TY 105 113 4 3 0 0 0 * x
TY 108 116 2 2 0 0 0 * 0
BE 105 65 105 80 75 85 75 110 0
FCJ 3 0 3 2 0 0
LI 181 91 211 91 0
LI 181 96 211 96 0
LI 211 86 211 101 0
LI 211 101 221 94 0
LI 221 94 211 86 0
TY 167 70 4 3 0 0 0 * teorema dei valori
TY 167 76 4 3 0 0 0 * intermedi per f. continue
LI 40 65 40 110 0
FCJ 3 0 3 2 0 0
LI 270 65 270 110 0
FCJ 3 0 3 2 0 0
LI 270 65 305 65 2
LI 270 110 335 110 2[/fcd]
In entrambi i casi, da nessuna parte uso l'ipotesi che \(\displaystyle f(1)=1 \).
Sbaglio qualcosa?
If a mapping \(\displaystyle f:[0,1]→[0,1] \) is continuous, \(\displaystyle f(0)=0, f(1)=1 \) and \(\displaystyle (f\circ f)(x)\equiv x \) on \(\displaystyle [0,1]\Rightarrow f(x)\equiv x \).
Senza stare a riportare la dimostrazione formale, la riporto direttamente in forma visiva che è immediata.
\(\displaystyle f(f(x))≡x \Rightarrow f \) invertibile, in particolare è iniettiva. Se per assurdo esistesse un \(\displaystyle x_0\in [0,1] \) tale che \(\displaystyle f(x_0 )>x_0 \):
[fcd="schema"][FIDOCAD]
LI 255 65 385 65 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 270 60 270 70 0
LI 370 60 370 70 0
TY 270 50 4 3 0 0 0 * 0
TY 370 50 4 3 0 0 0 * 1
LI 255 110 385 110 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 270 105 270 115 0
LI 370 105 370 115 0
TY 270 120 4 3 0 0 0 * 0
TY 370 120 4 3 0 0 0 * 1
SA 305 65 0
SA 335 110 0
SA 335 65 0
SA 305 110 0
BE 305 65 305 80 335 85 335 110 0
FCJ 3 0 3 2 0 0
TY 303 54 4 3 0 0 0 * x
TY 306 57 2 2 0 0 0 * 0
TY 332 55 4 3 0 0 0 * f(x )
TY 342 58 2 2 0 0 0 * 0
TY 332 113 4 3 0 0 0 * f(x )
TY 342 116 2 2 0 0 0 * 0
TY 305 113 4 3 0 0 0 * x
TY 308 116 2 2 0 0 0 * 0
BE 335 65 335 80 305 85 305 110 0
FCJ 3 0 3 2 0 0
SA 290 65 0
TY 288 55 4 3 0 0 0 * x
TY 288 53 4 3 0 0 0 * ~
BE 290 65 290 85 300 105 305 110 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 25 65 155 65 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 40 60 40 70 0
LI 140 60 140 70 0
TY 40 50 4 3 0 0 0 * 0
TY 140 50 4 3 0 0 0 * 1
LI 25 110 155 110 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 40 105 40 115 0
LI 140 105 140 115 0
TY 40 120 4 3 0 0 0 * 0
TY 140 120 4 3 0 0 0 * 1
SA 75 65 0
SA 105 110 0
SA 105 65 0
SA 75 110 0
BE 75 65 75 80 105 85 105 110 0
FCJ 3 0 3 2 0 0
TY 73 54 4 3 0 0 0 * x
TY 76 57 2 2 0 0 0 * 0
TY 102 55 4 3 0 0 0 * f(x )
TY 112 58 2 2 0 0 0 * 0
TY 102 113 4 3 0 0 0 * f(x )
TY 112 116 2 2 0 0 0 * 0
TY 75 113 4 3 0 0 0 * x
TY 78 116 2 2 0 0 0 * 0
BE 105 65 105 80 75 85 75 110 0
FCJ 3 0 3 2 0 0
LI 181 91 211 91 0
LI 181 96 211 96 0
LI 211 86 211 101 0
LI 211 101 221 94 0
LI 221 94 211 86 0
TY 167 70 4 3 0 0 0 * teorema dei valori
TY 167 76 4 3 0 0 0 * intermedi per f. continue
LI 40 65 40 110 0
FCJ 3 0 3 2 0 0
LI 270 65 270 110 0
FCJ 3 0 3 2 0 0
LI 270 65 305 65 2
LI 270 110 335 110 2[/fcd]
che è assurdo perché \(\displaystyle f \) deve essere iniettiva.
Analogamente se fosse \(\displaystyle f(x_0)
[fcd="schema 2"][FIDOCAD]
LI 255 65 385 65 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 270 60 270 70 0
LI 370 60 370 70 0
TY 270 50 4 3 0 0 0 * 0
TY 370 50 4 3 0 0 0 * 1
LI 255 110 385 110 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 270 105 270 115 0
LI 370 105 370 115 0
TY 270 120 4 3 0 0 0 * 0
TY 370 120 4 3 0 0 0 * 1
SA 305 65 0
SA 335 110 0
SA 335 65 0
SA 305 110 0
BE 305 65 305 80 335 85 335 110 0
FCJ 3 0 3 2 0 0
TY 333 54 4 3 0 0 0 * x
TY 336 57 2 2 0 0 0 * 0
TY 297 55 4 3 0 0 0 * f(x )
TY 307 58 2 2 0 0 0 * 0
TY 297 113 4 3 0 0 0 * f(x )
TY 307 116 2 2 0 0 0 * 0
TY 335 113 4 3 0 0 0 * x
TY 338 116 2 2 0 0 0 * 0
BE 335 65 335 80 305 85 305 110 0
FCJ 3 0 3 2 0 0
SA 290 65 0
TY 288 55 4 3 0 0 0 * x
TY 288 53 4 3 0 0 0 * ~
BE 290 65 290 85 300 105 305 110 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 25 65 155 65 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 40 60 40 70 0
LI 140 60 140 70 0
TY 40 50 4 3 0 0 0 * 0
TY 140 50 4 3 0 0 0 * 1
LI 25 110 155 110 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 40 105 40 115 0
LI 140 105 140 115 0
TY 40 120 4 3 0 0 0 * 0
TY 140 120 4 3 0 0 0 * 1
SA 75 65 0
SA 105 110 0
SA 105 65 0
SA 75 110 0
BE 75 65 75 80 105 85 105 110 0
FCJ 3 0 3 2 0 0
TY 103 54 4 3 0 0 0 * x
TY 106 57 2 2 0 0 0 * 0
TY 67 55 4 3 0 0 0 * f(x )
TY 77 58 2 2 0 0 0 * 0
TY 67 113 4 3 0 0 0 * f(x )
TY 77 116 2 2 0 0 0 * 0
TY 105 113 4 3 0 0 0 * x
TY 108 116 2 2 0 0 0 * 0
BE 105 65 105 80 75 85 75 110 0
FCJ 3 0 3 2 0 0
LI 181 91 211 91 0
LI 181 96 211 96 0
LI 211 86 211 101 0
LI 211 101 221 94 0
LI 221 94 211 86 0
TY 167 70 4 3 0 0 0 * teorema dei valori
TY 167 76 4 3 0 0 0 * intermedi per f. continue
LI 40 65 40 110 0
FCJ 3 0 3 2 0 0
LI 270 65 270 110 0
FCJ 3 0 3 2 0 0
LI 270 65 305 65 2
LI 270 110 335 110 2[/fcd]
In entrambi i casi, da nessuna parte uso l'ipotesi che \(\displaystyle f(1)=1 \).
Sbaglio qualcosa?
Risposte
In realtà esistono più funzioni con la proprietà $f(f(x))=x$: una è chiaramente $f(x)=x$, ma un'altra è $f(x)=1-x$ (difatti $f(f(x))=1-(1-x)=x$).
Quindi le condizioni $f(0)=0$ ed $f(1)=1$ ti devono servire a scegliere $f(x)=x$ a scapito di altre alternative.
Quindi le condizioni $f(0)=0$ ed $f(1)=1$ ti devono servire a scegliere $f(x)=x$ a scapito di altre alternative.
Nel tuo esempio, fissare solo \(\displaystyle f(0)=0 \) già mi esclude \(\displaystyle f(x)=1-x \).
Non ho capito se mi stai dicendo che la dimostrazione in [1] è sbagliata o meno.
Non ho capito se mi stai dicendo che la dimostrazione in [1] è sbagliata o meno.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo