Esercizio sulle funzioni armoniche

[gugo82]

Sfogliando gli appunti del corso di Analisi Superiore ho ritrovato il seguente esercizio:

Siano $n in NN$ un numero $ge 2$, $U subset RR^n$ un'aperto illimitato (distinto da $RR^n$) ed $f in C(U)$.

1) Mostrare che se il problema:

(P) $quad \{(-Delta u=f, " in " U), (u=0, " su "\partial U), (lim_(stackrel{|x|to +oo}{x in U}) u(x)=0, " condizione in "oo ):} quad$*

ha una soluzione $u in C^2(U)capC(barU)$ allora essa è unica.

2) Provare che per $n=2$ la condizione $lim_(stackrel{|x|to +oo}{x in U}) u(x)=0$ può essere sostituita dalla seguente:

$exists M>0: quad AA x in barU, |u(x)|le M quad$ (ossia $||u||_(L^oo(barU))="sup"_(barU) " "u< +oo$).

Ho provato a risolvere così.

1) Vista la linearità dell'equazione e delle condizioni al bordo, per provare l'unicità della soluzione di (P) occorre e basta dimostrare che il problema omogeneo:

(PO1) $quad \{(Delta w=0, " in " U), (w=0, " su "\partial U), (lim_(stackrel{|x|to +oo}{x in U}) w(x)=0, " condizione in " oo):}$

ammette come unica soluzione quella identicamente nulla in $barU$.
Evidentemente $w_0=0$ è soluzione di (PO1); sia perciò $w in C^2(U)cap C(barU)$ un'altra soluzione di (PO1) e mostriamo che essa coincide con $w_0$ in $barU$.
La funzione $w$ è armonica in $U$ e continua in $barU$: pertanto essa gode della seguente proprietà:

$AA Bsubseteq barU, " con " B " limitato", max_barB |w|=max_(\partial B) |w| quad$ (Principio del Massimo per le parti limitate di $barU$)

da cui segue che, comunque si fissi $B subset barU$ limitato, risulta:

$||w||_(L^oo(barU))=max{max_(barB) |w|, "sup"_(barU-B)" "|w|}=max{max_(\partial B) |w|, "sup"_(barU-B)" "|w|} quad$.

La condizione al bordo $lim_(stackrel{|x|to +oo}{x in barU}) w(x)=0$ ci informa che:

$AA epsilon >0, exists R_epsilon>0: quad AA x in barU-B(0;R_epsilon), |w(x)| quad AAepsilon >0, exists R_epsilon>0: "sup "_(barU-B(0;R_epsilon)) |w|le epsilon/2
pertanto, fissato $epsilon >0$ e detto $B=Ucap B(0;R_epsilon)$, si ha:

$||w||_(L^oo(barU))=max{max_(\partial B) |w|, "sup"_(barU-B)" "|w|}
(per la maggiorazione va tenuto presente che $\partial B=(barB (0;R_epsilon) cap \partialU) cup (barU cap \partialB (0;R_epsilon))$, quindi $max_(\partial B)|w|=max{0, max_(barU cap \partialB (0;R_epsilon))|w|}le "sup"_(barU-B)" "|w|$, essendo $barU cap \partialB (0;R_epsilon) subset barU-B$).

Vista l'arbitrarietà nella scelta di $epsilon$ in $RR^+$, la precedente implica che $||w||_(L^oo(barU))=0$, onde $w=0=w_0$ come volevamo.

Fin qui penso sia giusto, però aspetto conferme anche da voi.


Sto invece trovando difficoltà col punto 2).
Anche in questo caso si riduce tutto a provare che il problema omogeneo:

(PO2) $quad \{(Delta w=0, " in " U), (w=0, " su "\partial U), ( ||w||_(L^oo(barU))<+oo, " condizione in "oo):}$

ammette la sola soluzione nulla, però con ragionamenti tipo "Principio del Massimo" non riesco ad arrivare lontano (riesco a provare che se il valore $||w||_(L^oo(barU))$ è assunto in un punto di $barU$, allora $w=0$, ma nessuno mi assicura che tale valore sia effettivamente preso dalla funzione $w$ dato che $barU$ non è compatto: in quest'ultimo caso però si trova che $AA epsilon>0$ esiste $B_epsilon subset barU$ non limitato tale che $AA x in B_epsilon, ||w||_(L^oo(barU))-epsilon
Un aiutino?


P.S.: spero di aver scritto bene in mathml, dato che stamattina non riesco a visualizzare correttamente le formule.
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* Il simbolo $Delta$ denota l'operatore differenziale di Laplace $\sum_(i=1)^n (\partial^2)/(\partial x_i^2)$; quindi l'equazione $-Delta u=f$ si scrive $-\sum_(i=1)^n (\partial^2u)/(\partial x_i^2)=f$ in forma più esplicita.

[fu^2]

sinceramente non riesco a visualizzarle neanche io le formule...

[gugo82]

"fu^2":sinceramente non riesco a visualizzarle neanche io le formule...

Mmmm... se apro questo thread con Explorer mi funziona tutto, mentre se lo apro con Firefox non vedo le formule.
Il brutto è che succede solo con questo thread e non con gli altri.

Qualcuno sa come risolvere questa situazione?

[G.D.5]

Idem

[Eredir]

Togliendo le virgolette presenti nelle formule queste vengono visualizzate (credo) correttamente.

[gugo82]

Grazie Eredir.
Non mi ero accorto di aver messo delle "" fuori posto.

"Gugo82":Sto invece trovando difficoltà col punto 2).
Anche in questo caso si riduce tutto a provare che il problema omogeneo:

(PO2) $quad\{(Delta w=0, " in " U), (w=0, " su "\partial U), ( ||w||_(L^oo(barU))<+oo, " condizione in "oo):}$

ammette la sola soluzione nulla, però con ragionamenti tipo "Principio del Massimo" non riesco ad arrivare lontano (riesco a provare che se il valore $||w||_(L^oo(barU))$ è assunto in un punto di $barU$, allora $w=0$, ma nessuno mi assicura che tale valore sia effettivamente preso dalla funzione $w$ dato che $barU$ non è compatto: in quest'ultimo caso però si trova che $AA epsilon>0$ esiste $B_epsilon subset barU$ non limitato tale che $AA x in B_epsilon, ||w||_(L^oo(barU))-epsilon
Un aiutino?

Allora...

Il problema omogeneo associato al n° 2) ha sicuramente un'unica soluzione se l'insieme $U$ è il complementare di un cerchio aperto $B(xi;R)$ ($R>0$).
Infatti in tal caso si può cercare una soluzione dell'equazione di Laplace $Delta w=0$ che dipenda unicamente dalla distanza $r$ di $x in U=RR^2-B(xi;R)$ dal punto $xi$ (una soluzione siffatta è detta soluzione radiale): invero, posto $r=|x-xi|=sqrt((x_1-xi_1)^2+(x_2-xi_2)^2)$ e dette $w(r)$, $w'(r)$ e $w''(r)$ la funzione incognita e le sue derivate secondo rispetto ad $r$, l'equazione di Laplace si scrive:

$w''+1/r w'=0 quad$,

ossia diventa una EDO del second'ordine omogenea facilmente risolubile (ad esempio separando le variabili); si vede ad occhio che l'integrale generale dell'equazione precedente è $w(r)=c_1*log r+c_2$ con le costanti $c_1,c_2 in RR$: pertanto la generica soluzione radiale dell'equazione di Laplace in $U$ è data da:

$w(x)=c_1*log|x-xi| +c_2$.

La condizione $w=0 " su "\partial U=\partial B(xi;R)$ si esprime come $w(R)=0$ e ci consente di ricavare $c_2=-c_1*logR$ e perciò abbiamo:

$w(x)=c_1*log((|x-xi|)/R)$.

Affinchè una siffatta funzione sia limitata in $U$ ha da essere nullo il coefficiente $c_1$ (infatti se così non fosse risulterebbe $||w||_(L^oo(barU))=lim_(\stackrel{|x|to +oo}{x in U}) |c_1|*log((|x-xi|)/R)=+oo$): ne consegue immediatamente che il problema:

(PO2) $quad \{(Deltaw=0, " in " RR^2-B(xi;R)), (w=0, " su " \partial B(xi;R)), (||w||_(L^oo(RR^2-B(xi;R)))<+oo, " condizione in "oo):}$

ha come unica soluzione radiale quella identicamente nulla in $RR^2-B(xi;R)$.

La geometria di $RR^2-B(xi;R)$ è semplice e quindi consente di trovare soluzioni al problema che abbiano un'espressione analitica semplice; però attualmente non so se le soluzioni radiali sono le uniche possibili per (PO2).

Nel caso in questione, la soluzione radiale contiene una "componente" logaritmica divergente e si capisce che la limitatezza in $RR^2-B(xi;R)$ fornisce una condizione sufficiente per far "sparire" tale componente.
Nel caso generale, però, non vedo ancora come uscire dalla situazione di stallo in cui sono (anzi, non vedo nemmeno se una soluzione positiva del quesito 2) sia effettivamente possibile).

Qualcuno che mi conforti?