Esercizio sulle funzioni
Ciao a tutti, su un mio libro "Introduzione alla logica e al linguaggio matematico" ho questo esercizio.
Sia \(\displaystyle\alpha\in \mathbb{R}\) e sia \(\displaystyle D=\{x \in \mathbb{R} : x^2\leq 2\alpha^2-8 \} \) per quali valori di \(\displaystyle \alpha \) la funzione \(\displaystyle f:D \rightarrow \mathbb{R} \) definita da \(\displaystyle {f}(x)=5 \) è iniettiva? È suriettiva?
Ho sul mio libro la soluzione ma non riesco a capire.
Per la suriettività l'autore scrive: "Essendo \(\displaystyle {f} \) una costante, l'insieme immagine di \(\displaystyle {f} \) è \(\displaystyle \{5\} \) e quindi \(\displaystyle {f} \) non è suriettiva".
Intuitivamente posso pensare che tra infiniti valori di \(\displaystyle x \) solo alcuni "puntano" al 5 del codominio e quindi la mia non è una funzione (di conseguenza non potrà nemmeno essere suriettiva). Ma come lo dimostro?
Per l'iniettività l'autore del libro scrive: "Affinché \(\displaystyle {f} \) sia iniettiva, \(\displaystyle D \) deve contenere al più un elemento (quindi lo 0?); questo si ha soltanto quando \(\displaystyle 2\alpha^2-8 \leq 0 \)", cioè per \(\displaystyle \alpha \in [-2,2] \).
Chi mi spiega questi due punti? Magari scritto diversamente riuscirei a capire.
Grazie.
Sia \(\displaystyle\alpha\in \mathbb{R}\) e sia \(\displaystyle D=\{x \in \mathbb{R} : x^2\leq 2\alpha^2-8 \} \) per quali valori di \(\displaystyle \alpha \) la funzione \(\displaystyle f:D \rightarrow \mathbb{R} \) definita da \(\displaystyle {f}(x)=5 \) è iniettiva? È suriettiva?
Ho sul mio libro la soluzione ma non riesco a capire.
Per la suriettività l'autore scrive: "Essendo \(\displaystyle {f} \) una costante, l'insieme immagine di \(\displaystyle {f} \) è \(\displaystyle \{5\} \) e quindi \(\displaystyle {f} \) non è suriettiva".
Intuitivamente posso pensare che tra infiniti valori di \(\displaystyle x \) solo alcuni "puntano" al 5 del codominio e quindi la mia non è una funzione (di conseguenza non potrà nemmeno essere suriettiva). Ma come lo dimostro?
Per l'iniettività l'autore del libro scrive: "Affinché \(\displaystyle {f} \) sia iniettiva, \(\displaystyle D \) deve contenere al più un elemento (quindi lo 0?); questo si ha soltanto quando \(\displaystyle 2\alpha^2-8 \leq 0 \)", cioè per \(\displaystyle \alpha \in [-2,2] \).
Chi mi spiega questi due punti? Magari scritto diversamente riuscirei a capire.
Grazie.
Risposte
Innanzitutto, ti è chiaro che la funzione che stai considerando è la funzione costante $5$ ristretta a $D$ (che, se ci fai caso, non è altro che l'insieme $[-\sqrt(2\alpha^2-8),\sqrt(2\alpha^2-8)]$ se $|\alpha|>=2$, altrimenti è vuoto)?
Se ti è chiaro possiamo andare avanti, sennò no.
Se ti è chiaro possiamo andare avanti, sennò no.
"otta96":
Innanzitutto, ti è chiaro che la funzione che stai considerando è la funzione costante $5$ ristretta a $D$ (che, se ci fai caso, non è altro che l'insieme $[-\sqrt(2\alpha^2-8),\sqrt(2\alpha^2-8)]$ se $|\alpha|>=2$, altrimenti è vuoto)?
Se ti è chiaro possiamo andare avanti, sennò no.
Perfetto.
Dunque, l'immagine della funzione ha un solo elemento, che è proprio il $5$, quindi chiaramente la funzione non è suriettiva. Poi la funzione è costante quindi manda qualsiasi elemento del dominio sempre nello stesso elemento quindi non potrà essere iniettiva A MENO CHE non ci siano proprio due elementi diversi del dominio per contraddire la definizione di iniettività, e questo succede se $\alpha=+-2$ (in questo caso $D={0}$), oppure $|\alpha|<2$ (in questo altro caso $D=\emptyset$).
Ciao otta96, ciao 5y5t3m.
Scusate se mi intrometto con una osservazione pignola, ma lo dico per 5y5t3m, che mi sembra sia solo agli inizi dello studio della matematica, ed è importante che certi concetti base siano chiari.
Non ha senso parlare di suriettività o meno di una funzione se non si specifica il codominio (e in generale quando si definisce una funzione va specificato anche il codominio).
Nell'esercizio sembra sottinteso che il codominio sia $mathbb(R)$, quindi ok.
Ma in generale se una funzione è suriettiva o no dipende dal codominio, basta pensare che se si prende come codominio l'immagine di una funzione, allora la funzione è sempre suriettiva.
Al limite, anche nel caso dell'esercizio, se si prendesse come codominio ${5}$ la funzione sarebbe suriettiva.
Scusate se mi intrometto con una osservazione pignola, ma lo dico per 5y5t3m, che mi sembra sia solo agli inizi dello studio della matematica, ed è importante che certi concetti base siano chiari.
Non ha senso parlare di suriettività o meno di una funzione se non si specifica il codominio (e in generale quando si definisce una funzione va specificato anche il codominio).
Nell'esercizio sembra sottinteso che il codominio sia $mathbb(R)$, quindi ok.
Ma in generale se una funzione è suriettiva o no dipende dal codominio, basta pensare che se si prende come codominio l'immagine di una funzione, allora la funzione è sempre suriettiva.
Al limite, anche nel caso dell'esercizio, se si prendesse come codominio ${5}$ la funzione sarebbe suriettiva.
[ot]@5y5t3m: il tuo avatar rappresenta un covid? così per curiosità[/ot]
"gabriella127":
Ciao otta96, ciao 5y5t3m.
Scusate se mi intrometto con una osservazione pignola, ma lo dico per 5y5t3m, che mi sembra sia solo agli inizi dello studio della matematica, ed è importante che certi concetti base siano chiari.
Non ha senso parlare di suriettività o meno di una funzione se non si specifica il codominio (e in generale quando si definisce una funzione va specificato anche il codominio).
Nell'esercizio sembra sottinteso che il codominio sia $mathbb(R)$, quindi ok.
Ma in generale se una funzione è suriettiva o no dipende dal codominio, basta pensare che se si prende come codominio l'immagine di una funzione, allora la funzione è sempre suriettiva.
Al limite, anche nel caso dell'esercizio, se si prendesse come codominio ${5}$ la funzione sarebbe suriettiva.
gabriella127 hai ragione ho corretto il testo.
Quindi ora ti è tutto chiaro?
"dissonance":
[ot]@5y5t3m: il tuo avatar rappresenta un covid? così per curiosità[/ot]
[ot]Si potrebbe, ma non è stato scelto in riferimento a questo periodo. Avevo scelto questa immagine successivamente all'iscrizione al forum. Non credevo desse fastidio e quindi non l'ho cambiata, scusate.[/ot]
Ma no, non mi dava mica fastidio, era una domanda sincera e non retorica. Per me puoi mettere l’immagine che vuoi. C’è stato un qui pro quo. 
"otta96":
Quindi ora ti è tutto chiaro?
Si grazie. Però dovrei fare più esercizi perché da solo faccio ancora fatica ad arrivarci.
"dissonance":
Ma no, non mi dava mica fastidio, era una domanda sincera e non retorica. Per me puoi mettere l’immagine che vuoi. C’è stato un qui pro quo.
[ot]Giusto per essere pedante: quella non poteva essere l'immagine del covid perché il covid è la malattia mentre il virus che provoca il covid si chiama SARS-CoV-2 
che poi significa "severe acute respiratory syndrome coronavirus 2"[/ot]
Cordialmente, Alex
che poi significa "severe acute respiratory syndrome coronavirus 2"[/ot]Cordialmente, Alex
Grazie della precisazione Alex.
Adesso risulta che non solo 5y5t3m non dava fastidio a nessuno, ma che inoltre era la mia domanda ad essere cretina.
Adesso, non esagerare ...
[ot]Che raffinatitudine [/ot]
[/ot]
[ot]Boh, a me pareva Gino[/ot]
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