Esercizio sulle equazioni differenziali
Sia $y$ soluzione di $y'(x)=4^pi y(x)$, $y(0)=0$ allora $lim_(x->+infty)y(x)$ è uguale a:
Devo risolvere questo esercizio. Vorrei esprimere qui i miei passaggi, ma non riesco proprio a capirlo.
Mi aiutereste per favore?
Devo forse svilupparlo come equazione differenziale (a variabili separabili) e una volta trovato $y(x)$, farne il limite?
In tal caso trovo, (penso) $y=e^((4^pi)x)$. E se ne faccio il limite tende a $+infty$
Devo risolvere questo esercizio. Vorrei esprimere qui i miei passaggi, ma non riesco proprio a capirlo.
Mi aiutereste per favore?
Devo forse svilupparlo come equazione differenziale (a variabili separabili) e una volta trovato $y(x)$, farne il limite?
In tal caso trovo, (penso) $y=e^((4^pi)x)$. E se ne faccio il limite tende a $+infty$
Risposte
Grosso modo hai afferrato l'idea, ma stai facendo tutto troppo male e questo ti porta a sbagliare. L'equazione
$y'(x)=lambda y(x)$
si può integrare in modo molto semplice, l'integrale generale è $y_C(x)=Ce^{lambda x}$. Puoi arrivare a questo risultato in almeno due modi: separando le variabili oppure moltiplicando ambo i membri per il fattore integrante $e^{-lambda t}$.
Imponi la condizione iniziale e trova l'unico valore di $C$ che la soddisfi. Poi tutto verrà da sé.
________________
Addendum: Questo esercizio può anche essere risolto senza alcun conto. Infatti è un caso particolare di quest'altro esercizio che ti propongo:
Sia $f: RR\toRR$ una funzione Lipschtiziana tale che $f(0)=0$ e sia $y$ una funzione derivabile tale che
${(y'(x)=f(y(x))),(y(0)=0):}$.
Dimostrare che allora $y-=0$ identicamente.
$y'(x)=lambda y(x)$
si può integrare in modo molto semplice, l'integrale generale è $y_C(x)=Ce^{lambda x}$. Puoi arrivare a questo risultato in almeno due modi: separando le variabili oppure moltiplicando ambo i membri per il fattore integrante $e^{-lambda t}$.
Imponi la condizione iniziale e trova l'unico valore di $C$ che la soddisfi. Poi tutto verrà da sé.
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Addendum: Questo esercizio può anche essere risolto senza alcun conto. Infatti è un caso particolare di quest'altro esercizio che ti propongo:
Sia $f: RR\toRR$ una funzione Lipschtiziana tale che $f(0)=0$ e sia $y$ una funzione derivabile tale che
${(y'(x)=f(y(x))),(y(0)=0):}$.
Dimostrare che allora $y-=0$ identicamente.
@dissonance: siccome sto facendo pure io le eq differenziali, volevo chiederti se è corretto questo modo per dimostrare l'asserto.
il fatto che f sia (localmente) lipschitziana mi dice che la soluzione del p di cauchy esiste ed è unica in ogni intervallo I contenente $x_0 = 0$. visto che la funzione $y(x)=0$ è soluzione, allora deduco che è l'unica soluzione. è giusto?
il fatto che f sia (localmente) lipschitziana mi dice che la soluzione del p di cauchy esiste ed è unica in ogni intervallo I contenente $x_0 = 0$. visto che la funzione $y(x)=0$ è soluzione, allora deduco che è l'unica soluzione. è giusto?
Non ho capito bene, allora:
nel metodo delle variabili separabili, faccio:
$(d(y(x)))/dx=lambday(x)$
per cui;
$int (d(y(x)))/y(x)= int lambdadx$
$log|(y(x))|=lambdax+C$
$y(x)=e^(lambdax+C) -> y(x)=e^(lambdax)e^C$
essendo $y(x)=0$ e $x=0$ allora:
$0=e^0e^C -> 0=1e^C -> C=0$
per cui si ha:
$y(x)=e^(lambdax)$
$lim_(x->+infty)e^(lambdax) = +infty$
ma a quanto ho capito invece dovrebbe tornare 0, dove sbaglio?
nel metodo delle variabili separabili, faccio:
$(d(y(x)))/dx=lambday(x)$
per cui;
$int (d(y(x)))/y(x)= int lambdadx$
$log|(y(x))|=lambdax+C$
$y(x)=e^(lambdax+C) -> y(x)=e^(lambdax)e^C$
essendo $y(x)=0$ e $x=0$ allora:
$0=e^0e^C -> 0=1e^C -> C=0$
per cui si ha:
$y(x)=e^(lambdax)$
$lim_(x->+infty)e^(lambdax) = +infty$
ma a quanto ho capito invece dovrebbe tornare 0, dove sbaglio?
@enr: Concettualmente è giusto, ma usi una scelta di parole un po' infelice... io non direi che la soluzione esiste ed è unica "in ogni intervallo contenente $x_0$", ma che "per ogni scelta dei dati iniziali $(x_0, y_0)$ esiste un intervallo tale che in esso la soluzione esiste ed è unica". Può sembrare un tipico sofisma per matematici snob ma purtroppo non è così, si tratta di un concetto importante (e piuttosto difficile da mandare giù, devo dire) della teoria delle equazioni differenziali. Meglio rimarcarlo bene, specialmente se sei un matematico.
In ogni caso hai afferrato il concetto. Localmente esiste un'unica soluzione del p.d.C., e siccome si vede facilmente che $y-=0$ è soluzione, ogni altra deve coincidere con essa in tutto il proprio insieme di definizione.
_________________
@Marco: Stai attento quando separi le variabili, la tua eccessiva disinvoltura ti fa perdere un sacco di soluzioni. Intanto, quando dividi per $y$ devi sempre controllare a parte che tu non ti stia perdendo delle soluzioni che si annullano. E difatti $y-=0$ è una soluzione. Dal teorema di esistenza e unicità sai che ogni altra soluzione non si può annullare in un intorno di $x_0=0$, quindi non perdiamo soluzioni supponendo $y(x)!=0$ e dividendo. Allora l'equazione data è equivalente a
$\frac{y'(x)}{y(x)}=\lambda$;
integrando ambo i membri essa può essere riscritta come
$log|y(x)|=\lambdax+C$;
(e qui arriva l'altro tuo errore) quindi come
$y(x)=e^Ce^{\lambda x}$ se $y(x)>0$;
$y(x)=-e^C e^{\lambda x}$ se $y(x)<0$.
In totale, dal momento che $C$ è arbitrario, possiamo riassumere tutte le soluzioni in un'unica formula:
In ogni caso hai afferrato il concetto. Localmente esiste un'unica soluzione del p.d.C., e siccome si vede facilmente che $y-=0$ è soluzione, ogni altra deve coincidere con essa in tutto il proprio insieme di definizione.
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@Marco: Stai attento quando separi le variabili, la tua eccessiva disinvoltura ti fa perdere un sacco di soluzioni. Intanto, quando dividi per $y$ devi sempre controllare a parte che tu non ti stia perdendo delle soluzioni che si annullano. E difatti $y-=0$ è una soluzione. Dal teorema di esistenza e unicità sai che ogni altra soluzione non si può annullare in un intorno di $x_0=0$, quindi non perdiamo soluzioni supponendo $y(x)!=0$ e dividendo. Allora l'equazione data è equivalente a
$\frac{y'(x)}{y(x)}=\lambda$;
integrando ambo i membri essa può essere riscritta come
$log|y(x)|=\lambdax+C$;
(e qui arriva l'altro tuo errore) quindi come
$y(x)=e^Ce^{\lambda x}$ se $y(x)>0$;
$y(x)=-e^C e^{\lambda x}$ se $y(x)<0$.
In totale, dal momento che $C$ è arbitrario, possiamo riassumere tutte le soluzioni in un'unica formula:
- [*:2bk7mlfq]$y(x)=Ke^{\lambda x}$ al variare di $K\inRR$.[/*:m:2bk7mlfq][/list:u:2bk7mlfq]
Nota come questa formula contenga anche la soluzione identicamente nulla che avevamo isolato all'inizio. Non sempre è così, per altre classi di equazioni differenziali occorrerà scrivere a parte delle soluzioni particolari (integrali particolari si chiamano in gergo).
Consiglio vivamente la lettura dell'opuscolo Equazioni differenziali a variabili separabili e urang-utang di Fioravante Patrone.
io studio ingegneria, figurati. mi interessa che l'intuizione sia corretta, comunque ti ringrazio per l'osservazione.
"enr87":Ah ok. Bene, allora possiamo parlare senza preoccuparci troppo del rigore formale: volevo sottolineare che il teorema di esistenza e unicità locale non dà informazioni sull'insieme di definizione delle soluzioni, o per dirla in termini concreti, non assicura che non succeda qualcosa di "catastrofico" in un tempo finito. Per esempio l'equazione $\dot{y}=y^2$ verifica il teorema di esistenza e unicità locale e le soluzioni (a parte quella nulla) non esistono più a partire da un certo istante in poi; ad esempio con il dato iniziale $y(0)=1$ la soluzione ($y(t)=\frac{1}{1-t}$) esplode per $t=1$.
io studio ingegneria, figurati. mi interessa che l'intuizione sia corretta.
In conclusione non puoi dire: fisso un intervallo temporale $I$ e sono sicuro che la soluzione esiste in ogni istante di $I$.
Sicuramente sono cose che conosci ma mi sembrava interessante ribadirle. Spero di non averti annoiato o confuso!
scusami di nuovo..
ho ripassato un po' la teoria, e si.. avevo tralasciato dei passaggi.
il passaggio successivo è:
$0=K$
per cui ottengo che
$y(x)=0$ e il suo limite tende a $0$.
ho ripassato un po' la teoria, e si.. avevo tralasciato dei passaggi.
il passaggio successivo è:
$0=K$
per cui ottengo che
$y(x)=0$ e il suo limite tende a $0$.
"dissonance":Ah ok. Bene, allora possiamo parlare senza preoccuparci troppo del rigore formale: volevo sottolineare che il teorema di esistenza e unicità locale non dà informazioni sull'insieme di definizione delle soluzioni, o per dirla in termini concreti, non assicura che non succeda qualcosa di "catastrofico" in un tempo finito. Per esempio l'equazione $\dot{y}=y^2$ verifica il teorema di esistenza e unicità locale e le soluzioni (a parte quella nulla) non esistono più a partire da un certo istante in poi; ad esempio con il dato iniziale $y(0)=1$ la soluzione ($y(t)=\frac{1}{1-t}$) esplode per $t=1$.
[quote="enr87"]io studio ingegneria, figurati. mi interessa che l'intuizione sia corretta.
In conclusione non puoi dire: fisso un intervallo temporale $I$ e sono sicuro che la soluzione esiste in ogni istante di $I$.
Sicuramente sono cose che conosci ma mi sembrava interessante ribadirle. Spero di non averti annoiato o confuso![/quote]
perfetto ho capito. in effetti ho fatto un po' di confusione sopra, ma ora mi hai chiarito meglio. grazie.
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