Esercizio sulle Eq. Differenziali

[manuelb93]

Buonasera, vi espongo il mio problema. Non riesco a trovare una soluzione particolare dell'equazione differenziale $y'''+3*y''+3*y'+y=1$. Ho notato, ma solo ad occhio, che può essere $y(x)=1$, però con il metodo fornito dal mio professore (denominato di verosimiglianza), che consiste nel cercare tali soluzioni nelle espressioni del tipo $x^k*Q(x)$, dove k dipende dalla molteplicità del valore che annulla il polinomio caratteristico dell'equazione differenziale omogenea associata a quella di partenza, e Q(x) è un generico polinomio (scritto quindi con i coefficienti generici) dello stesso grado del polinomio a destra dell'uguale nell'equazione di partenza. Con questo metodo non riesco a trovare nessuna soluzione, in particolare non riesco ad arrivare a quella notata. Ne conoscete altri di metodi?

[seb1]

Esagerato qui utilizzare il metodo della somiglianza. Posto \(y-1=z\implies y'=z'\implies y''=z''\implies y'''=z'''\) da cui si ottiene l'equazione omogenea:\[z'''+3z''+3z'+z=0\]

[manuelb93]

Sì, decisamente molto meglio così. Grazie mille

[manuelb93]

Scusate, per non aprire un discussione identica chiedo ancora qui. Per esempio nell'equazione differenziale
$y''(t)-5*y'(t)+6*y(t)=e^t$ come posso fare?

[pilloeffe]

Ciao manuelb93,

Nel caso dell'ultima equazione differenziale proposta, col metodo di somiglianza la soluzione particolare è del tipo $y_p(t) = k e^t $ e si vede quasi subito che $k = 1/2 $

[manuelb93]

Credo di aver fatto un po' di confusione nei miei appunti, perché nel caso relativo alla forma $...=P(x)*e^(ax)$, ho una parte abbastanza confusa. Sapete per caso dove posso reperire una dispensa con i casi principali da tenere a mente?

Intanto grazie per l'aiuto

[pilloeffe]

"manuelb93":Sapete per caso dove posso reperire una dispensa con i casi principali da tenere a mente?

Non saprei, ma secondo me se cerchi su google (o su questo stesso sito) "metodo di somiglianza" trovi un bel po' di esercizi e di materiale...

Per quanto riguarda la sua applicazione, puoi trovare una guida sommaria nell'ottimo post di gugo82 qui.

[manuelb93]

Grazie mille, ottimo post davvero!