Esercizio sulle distanze?

[Nicole2393]

Per $X={f:[a, b] -> R}$ funizioni continue e
$d(x, y) = max{|x(t) − y(t)| : t ∈ [a, b]}$
dimostrare che (X,d) è uno spazio metrico

Stessa cosa per $X={f:A -> R}$ insieme di funzioni limitate da A in R
$d(x, y)=$ SUP${|x(t) − y(t)| : t ∈ A}$

Non capisco bene la differenza fra le due metriche, oltre a come svolgere l'esercizio...qualcuno mi può aiutare?
Grazie

[Noisemaker]

Consideriamo il primo esercizio: si tratta sostanzialmente di stabilire se lo spazio $X=C^0 ([a;b] )$ delle funzioni continue su un intervallo compatto è uno spazio metrico con la distanza definita da:
\[d(x,y)=\max\{|x(t)-y(t)|: t\in[a;b]\};\qquad\qquad(1)\]
per verificare che tale spazio è metrico, bisogno varificare che la distanza $(1)$ soddisfa le 4 proprietà che definiscono un distanza, cioè

[*:36zpy7q4] $d(x,y)>0, \forall x,y\in X;$
questa proprietà è abbbastanza evidente, perchè per definizione di valore assoluto si ha che, qualsiasi siano gli elementi dell'insieme $X,$ cioè le funzioni continue, si ha:
\[\max\{|x(t)-y(t)|\}=\underbrace{ |x(t)-y(t)| }_{numero \,\,\,reale}>0, \forall t\in[a;b]\][/*:m:36zpy7q4]
[*:36zpy7q4] $d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y$
anche questa proprietà è abbbastanza evidente, perchè sempre per definizione di valore assoluto si ha che,
\[\max\{|x(t)-y(t)|\}=\underbrace{ |x(t)-y(t)| }_{differenza \,\,\, tra \,\,\, numeri \,\,\,reali}=0\Leftrightarrow x(t)=y(t), \forall t\in[a;b]\][/*:m:36zpy7q4]
[*:36zpy7q4] $d(x,y)=d(y,x), \forall x,y\in X;$
sempre per definizione di valore assoluto si ha che
\[d(x;y)=\max\{|x(t)-y(t)|\}=\max\{|y(t)-x(t)|\} =d(y;x) , \forall t\in[a;b]\][/*:m:36zpy7q4]
[*:36zpy7q4] la proprietà più delicata è la disuguaglianza triangolare, cioè dobbbiamo dimostrare che, per ogni $x(t),y(t),z(t)$ vale
\[d(x;y)\le d(x;z)+d(y;z),\]
cioè,$\forall t\in[a;b] $
\begin{align}
|x(t)-y(t)|\le |x(t)-z(t)|+ |x(t)-z(t)|;
\end{align}
infatti aggiungendo e sottraendo $z(t)$ nella $|x(t)-y(t)|$ si ottiene:
\begin{align}
d(x;y)=|x(t)+z(t)-z(t)-y(t)|&=|(x(t)-z(t))+(z(t)-y(t))|\\
&\le |(x(t)-z(t))|+|(z(t)-y(t))|\\
&=| x(t)-z(t) |+| y(t)-z(t) |\\
&=|d(x;z)|+|d(y;z)|.
\end{align}
[/*:m:36zpy7q4][/list:u:36zpy7q4]
Dunque lo spazio $X=C^0 ([a;b] )$ è uno spazio metrico. Il secondo è analogo.

[Nicole2393]

Grazie mille!! sai chiarire anche la differenza fra le due distanze? perchè non riesco a capire...

[Quinzio]

La differenza è sostanzialmente che la prima usa il "max", la seconda il "sup". Perchè se l'immagine di una o di tutte due le funzioni non è un intervallo chiuso, non riesci a misurare la distanza.
Esempio:
$t \in [\pi/4,\pi/2)$
$x(t)=(1)/(tg\phi)-1$
e banalmente $y(t)=0$
Per $t->\pi/2$
non puoi misurare una distanza perchè la $x(t)$ non arriva mai a -1.
Tieni conto che ti hanno dato come dominio un generico $A$ che può essere anche aperto, o tutto $RR$.

Spero di non aver detto fesserie, magari chiedi conferma.

[Nicole2393]

ok grazie