Esercizio sulle derivate

[Dust1]

Vorrei sapere qual'è l'esatta procedura per risolvere questo es:

Stabilire se le seguenti funzioni sono invertibili nel loro dominio e in caso affermativo calcolare, se esiste, la derivata della funzione inversa nel punto indicato:

$f(x)= SIN(x/(|x|+2)) + 2x$, per $y=1+SIN(1/3)$

grazie

[fireball1]

$f$ è una funzione definita in tutto $RR$ ed è ivi
continua, quindi risulterà invertibile su $RR$ se e solo
se è ivi strettamente monotona. Per dimostrare la stretta
monotonia, ad esempio, basta verificare che la derivata
prima $f'(x)$ è strettamente positiva su tutto $RR$.
Quindi, dopo averlo verificato, abbiamo che $f$ è strettamente crescente su $RR$ e dunque ivi invertibile.
La derivata dell'inversa calcolata in $2+sin(1/3)$ è
uguale a $1/(f'(x))$ dove $x$ è tale che $f(x)=2+sin(1/3)$.
Si vede immediatamente che $f(x)=2+sin(1/3) <=> x = 1$, perciò $(f^(-1))'(2+sin(1/3)) = 1/(f'(1)) = 9/(2(cos(1/3)+9))

[Dust1]

Ho sbagliato a scriverla.. era
$f(x)= SIN(x/(|x|+1)) + 2x$

cmq cambiava solo ke $y=1+SIN(1/3)$ veniva per $x=1/2$ al posto dell'$x=1$ della tua soluz. cmq grazie!!

[fireball1]

Ah ecco infatti! Mi sembrava che ci fosse
qualche incongruenza del testo, dal momento
che non era per niente facile calcolare
$f^-1(1+sin(1/3))$...