Esercizio sulle derivate
Salve a tutti! Vorrei proporvi un esercizio con la mia risoluzione per sapere cosa ne pensate e nel caso quali siano gli errori!
Sia $f$ definita e derivabile su $R$ (perdonate non so come fare il simbolo) e tale che:
$f(x^2)-sin(f(x))=1$ $AA x in R$. Provare che $f'(1)=0$.
Allora io ho seguito questa strada:
$\frac{d}{dx}[f(x^2)-sin(f(x))-1]=0$ e svolgendo i calcoli:
$f'(x)=\frac{2xf'(x^2)}{cos(f(x))}$ ($1$). A questo punto ho ripreso la relazione iniziale in modo che:
$f(x^2)=1+sin(f(x))$ per dire che $f'(x^2)=f'(x)cos(f(x))$. Sostituendo in ($1$) si arriva a:
$f'(x)=2xf'(x)$ e infine $f'(x)(1-2x)=0$ da cui ho pensato che $f'(x)=0$ $AAx in R $\$ {\frac{1}{2}}$ e da cui anche la risposta positiva alla richiesta. Che ne pensate?
Sia $f$ definita e derivabile su $R$ (perdonate non so come fare il simbolo) e tale che:
$f(x^2)-sin(f(x))=1$ $AA x in R$. Provare che $f'(1)=0$.
Allora io ho seguito questa strada:
$\frac{d}{dx}[f(x^2)-sin(f(x))-1]=0$ e svolgendo i calcoli:
$f'(x)=\frac{2xf'(x^2)}{cos(f(x))}$ ($1$). A questo punto ho ripreso la relazione iniziale in modo che:
$f(x^2)=1+sin(f(x))$ per dire che $f'(x^2)=f'(x)cos(f(x))$. Sostituendo in ($1$) si arriva a:
$f'(x)=2xf'(x)$ e infine $f'(x)(1-2x)=0$ da cui ho pensato che $f'(x)=0$ $AAx in R $\$ {\frac{1}{2}}$ e da cui anche la risposta positiva alla richiesta. Che ne pensate?
Risposte
Sono in dubbio sulla conclusione, che avrei risolto così
arrivata a $f'(x)=2xf'(x)$ avrei sostituito 1 alla x ottenendo $f'(1)=2*f'(1)$ da cui $f'(1)=0$
arrivata a $f'(x)=2xf'(x)$ avrei sostituito 1 alla x ottenendo $f'(1)=2*f'(1)$ da cui $f'(1)=0$
ok grazie!! 
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