Esercizio sulle curve

[previ91]

Ciao a tutti ,

devo studiare se la seguente curva è chiusa , semplice , regolare ; calcolarne poi la lunghezza e parametrizzarla con ascissa curvilinea ; questa è la prima parte di esercizio e la curva è $gamma(t)=(e^t , e^(-t) , sqrt2 t) $ con $t\in [0,1]$. Io arrivo ad un punto dove mi blocco ...ho fatto così :

Chiusa :
$gamma(0)=(1,1 ,0 ) \ne gamma(1)=(e , 1/e , sqrt2 )$ quindi la curva non è chiusa.

Semplice :
E' semplice se $gamma(t_1)=gamma(t_2) \rightarrow t_1 =t_2$ . Dalla terza condizione $sqrt2 t_1=sqrt2 t_2$ questo si verifica e quindi la curva è semplice.

Regolare :
La curva è $C^1$ e si ha che $gamma'(t)=(e^t , -e^(-t) , sqrt2 )\ne 0 $ quindi la curva è regolare.

Adesso dovrei bloccarmi ...calcolo la lunghezza , mi serve il modulo della derivata prima quindi :
$|gamma'(t)|=sqrt(e^(2t)+e^(2t)+2)=sqrt(2e^(2t)+2)=sqrt2 sqrt(e^(2t)+1)$

Lunghezza = $sqrt2 int_0^1 sqrt(e^(2t)+1)dt$ e quì mi blocco perchè non riesco a risolvere l'integrale...potreste aiutarmi? Grazie

[lordb]

Hai sbagliato la norma della derivata,in particolare $(-e^(-t))^2=(-1/(e^t))^2=1/(e^(2t))=e^(-2t)$

[previ91]

Ecco l'errore !! Grazie mille adesso posso andare avanti !