Esercizio sulle curve
Si consideri la curva $rho=2theta$ con theta compreso tra 0 e pi mezzi;
come disegno la traccia in xy?
come faccio a scriverla in forma cartesiana?
come disegno la traccia in xy?
come faccio a scriverla in forma cartesiana?
Risposte
[mod="dissonance"]@Knuckles: Sei un utente di lungo corso e credo ti renda conto da solo che il tuo messaggio non è per niente ben scritto. Cerca di rimediare o dovremo chiudere. Ti ricordo l'uso di una sintassi appropriata per le formule ("theta compreso tra 0 e pi mezzi" fa male agli occhi leggerlo ) e il proporre sempre qualche idea personale e non solo la semplice risoluzione di un esercizio.
Grazie. [/mod]
Grazie. [/mod]
Si consideri la curva la cui equazione in coordinate polari `e:
$rho=2theta$
con $theta in [0,pi/2]
Si tracci nel piano cartesiano xOy la traccia della curva.
A cui aggiungo la domanda come faccio a scriverla in coordinate cartesiane? perchè ho pensato che se riesco a scriverla in coordinate cartesiane riesco a trovare l'immagine della curva che corrisponde alla traccia se non sbaglio...
il motivo per cui non posto idee è perchè non so come fare... e appunto perchè sono iscritto da un po so che devo aggiungere mie proporste ma in questo caso non ne avevo... scasate.
$rho=2theta$
con $theta in [0,pi/2]
Si tracci nel piano cartesiano xOy la traccia della curva.
A cui aggiungo la domanda come faccio a scriverla in coordinate cartesiane? perchè ho pensato che se riesco a scriverla in coordinate cartesiane riesco a trovare l'immagine della curva che corrisponde alla traccia se non sbaglio...
il motivo per cui non posto idee è perchè non so come fare... e appunto perchè sono iscritto da un po so che devo aggiungere mie proporste ma in questo caso non ne avevo... scasate.
La prima cosa che mi viene in mente è di sostituire le trasformazioni inverse
$\rho = \sqrt{x^2 + y^2} $
$\theta = arctg (y/x)$
solo che mi rendo conto che non è proprio banale disegnare il grafico della curva definita implicitamente da
$\sqrt{x^2 + y^2} = 2 arctg (y/x)$
però ci sono i software per questo....
$\rho = \sqrt{x^2 + y^2} $
$\theta = arctg (y/x)$
solo che mi rendo conto che non è proprio banale disegnare il grafico della curva definita implicitamente da
$\sqrt{x^2 + y^2} = 2 arctg (y/x)$
però ci sono i software per questo....
"Traccia di una curva" che significa? Se intendi l'immagine, allora non ti conviene passare in coordinate cartesiane per disegnarla: è molto più gestibile così. L'ho fatta disegnare a Maple per $theta \in [0, 2pi]$, è facile capire quale sia la restrizione a $[0, pi/2]$:
"dissonance":
"Traccia di una curva"
Secondo talune definizioni (ed io ci sono passato di mezzo), una curva è una classe di equivalenza di rappresentazioni parametriche (sostanzialmente due rappresentazioni parametriche sono equivalenti se si tratta di percorrere la "stessa curva" a velocità diversa).
La "traccia" di una curva così definita è la immagine di ogni rappresentazione parametrica (insomma, è la strada che percorri nel piano, nello spazio e nell'iperspazio...).
ok grazie... quindi a livello di conti visto che all'esame non avrò software purtroppo c'è un modo per disegnarla?
ho pensato se sia possibile studiando le derivate della curva in certi punti trovare la direzione della curva.... ma purtroppo non sono un matematico dalla mente aperta
oppure potrei approssimare l'equazione di alle.fabbri con il teo del dini?
ho pensato se sia possibile studiando le derivate della curva in certi punti trovare la direzione della curva.... ma purtroppo non sono un matematico dalla mente aperta
oppure potrei approssimare l'equazione di alle.fabbri con il teo del dini?
niente è tutta la mattina che provo a trovare delle soluzioni.... ma non riesco a venirne a capo 
qualche aiutino?
qualche aiutino?
Ma dissonance ti ha già dato la risposta.
Tu la disegni (approssimativamente) anche a mano, lavorando su theta e rho. E la disegni già nel piano cartesiano solito.
Tieni presente che si tratta di una curva ben nota: la (una) spirale di Archimede.
O c'è qualcosa che non capisco nel problema che tu hai.
Tu la disegni (approssimativamente) anche a mano, lavorando su theta e rho. E la disegni già nel piano cartesiano solito.
Tieni presente che si tratta di una curva ben nota: la (una) spirale di Archimede.
O c'è qualcosa che non capisco nel problema che tu hai.
Il problema è che io ho $rho=2theta$ ma da qui non so come disegnarla approssimativamente... cioè cosa devo fare?
l'unica cosa che mi viene in mente è dire che se pongo $theta=0$ -> $rho=0$ quindi nel piano xy avrei un punto (0,0)?
e che allo stesso modo se pongo $theta=pi/2$ -> $rho=pi$ ma nel piano xy che punto è?
è tutto un po nebbioso...
l'unica cosa che mi viene in mente è dire che se pongo $theta=0$ -> $rho=0$ quindi nel piano xy avrei un punto (0,0)?
e che allo stesso modo se pongo $theta=pi/2$ -> $rho=pi$ ma nel piano xy che punto è?
è tutto un po nebbioso...
"se pongo $theta=0$ -> $rho=0$ quindi nel piano xy avrei un punto (0,0)?"
Certo!!!
"e che allo stesso modo se pongo $theta=pi/2$ -> $rho=pi$ ma nel piano xy che punto è?"
$theta=pi/2$ vuol dire che sei sull'asse delle $y$
$rho = pi$ vuol dire che sei a distanza $pi$ dall'origine
queste due info individuano univocamente il tuo punto
Altro esempio:
$theta=pi/4$ vuol dire che sei sulla semiretta bisettrice del primo quadrante
$rho = pi/2$ vuol dire che sei a distanza $pi/2$ dall'origine
In genere:
- un valore di $theta$ individua una semiretta (che fa un angolo $theta$ con l'asse delle $x$)
- un valore di $rho$ individua una circonferenza di centro l'origine e raggio $rho$
Dati un valore per $theta$ e uno per $rho$, intersechi semiretta e circonferenza e trovi il punto
Certo!!!
"e che allo stesso modo se pongo $theta=pi/2$ -> $rho=pi$ ma nel piano xy che punto è?"
$theta=pi/2$ vuol dire che sei sull'asse delle $y$
$rho = pi$ vuol dire che sei a distanza $pi$ dall'origine
queste due info individuano univocamente il tuo punto
Altro esempio:
$theta=pi/4$ vuol dire che sei sulla semiretta bisettrice del primo quadrante
$rho = pi/2$ vuol dire che sei a distanza $pi/2$ dall'origine
In genere:
- un valore di $theta$ individua una semiretta (che fa un angolo $theta$ con l'asse delle $x$)
- un valore di $rho$ individua una circonferenza di centro l'origine e raggio $rho$
Dati un valore per $theta$ e uno per $rho$, intersechi semiretta e circonferenza e trovi il punto
ok... quindi facendo così io avrei disegnato molto approssimativamente la curva.... detto ciò, per trovare con che pendenza arriva in quei punti posso calcolare la derivata di $rho=2theta$....che viene 2, ma a questo punto so solo che è monotona crescente l'angolo, quindi ottengo una spirale sempre più grossa....
però per trovare la pendenza nel punto $(0,pi/2)$ ad esempio?
però per trovare la pendenza nel punto $(0,pi/2)$ ad esempio?
"Knuckles":
però per trovare la pendenza nel punto $(0,pi/2)$ ad esempio?
La vedo dura
L'equazione della tua curva in coordinate polari è $rho=2theta$
Quindi se $theta = pi/2$ allora $rho = pi$, mica zero!
Comunque, per rispondere alla tua domanda, o la valuti "graficamente" (così come suggerivo di tratteggiare approssimativamente la curva), o sennò fai ricorso alle trasformazioni polari <-> cartesiane (vedi post di alle.fabbri)
no infatti quello che forse sarebbe utile fare è disegnare qualitativamente la curva e in certi punti essere però più preciso,guardando come è la derivata in quel punto.... anche perchè come sai se in punto ho tangente orizzontale oppure obliqua, la curva potrebbe anche cambiare significato...
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