Esercizio sull'applicazione del teorema dello scambio del limite.
Buon pomeriggio, sto provando a svolgere un esercizio assegnato dalla mia prof. a lezione sull'applicazione del teorema : Scambio del limite con l'integrale.
Eserczio:
Sia la seguente successione di funzioni definita come
i) $f_n(x)$ converge puntalmenta a $f(x)=x^2$ per $x>0,$
ii) applicando il teorema dello scambio del limite, non converge uniformemente, in tal caso determinare un intervallo in cui ci sia la convergenza uniforme.
Risoluzione:
i)
Per $|x|>1/n$ si ha $f_n(x)=x^2$
$lim_(n to + infty) f_n(x)=lim_(n to + infty)x^2=x^2$, dunque converge puntualme a $f(x)=x^2.$
Per $|x| le 1/n$ si ha $f_n(x)=x^2+n-n^2|x|=x^2+n(1-n|x|)$
$lim_(n to + infty)f_n(x)=lim_(n to + infty)x^2+n(1-n|x|)=x^2+lim_(n to + infty)n(1-n|x|)=+- infty$
Infine $f_n$ converge puntalmente per $|x|>1/n$ a $f(x)=x^2.$
Essendo i primi esercizi che sto svolgendo, vi chiedo se sto procendendo in maniera corretta.
Ciao a presto.
Eserczio:
Sia la seguente successione di funzioni definita come
$ f_n(x)={ ( x^2+n-n^2|x|\qquad se\ |x| le 1/n),( x^2 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad se\ |x|
>\1/n ):} $
verificare>\1/n ):} $
i) $f_n(x)$ converge puntalmenta a $f(x)=x^2$ per $x>0,$
ii) applicando il teorema dello scambio del limite, non converge uniformemente, in tal caso determinare un intervallo in cui ci sia la convergenza uniforme.
Risoluzione:
i)
Per $|x|>1/n$ si ha $f_n(x)=x^2$
$lim_(n to + infty) f_n(x)=lim_(n to + infty)x^2=x^2$, dunque converge puntualme a $f(x)=x^2.$
Per $|x| le 1/n$ si ha $f_n(x)=x^2+n-n^2|x|=x^2+n(1-n|x|)$
$lim_(n to + infty)f_n(x)=lim_(n to + infty)x^2+n(1-n|x|)=x^2+lim_(n to + infty)n(1-n|x|)=+- infty$
Infine $f_n$ converge puntalmente per $|x|>1/n$ a $f(x)=x^2.$
Essendo i primi esercizi che sto svolgendo, vi chiedo se sto procendendo in maniera corretta.
Ciao a presto.
Risposte
No.
Dove ho sbagliato ?
Hai passato al limite per $n -> oo$, giusto?
E ti pare che il risultato possa dipendere da $n$?
E ti pare che il risultato possa dipendere da $n$?
"gugo82":
Hai passato al limite per $ n -> oo $, giusto?
E ti pare che il risultato possa dipendere da $ n $?
No, forse ho sbagliato l'impostazione dell'esercizio.
Considero il secondo caso: $|x| le 1/n$
$n to + infty$ si ha $|x|=0,$ dunque $f_n(0)=n to + infty,$ per $n to + infty.$
Così ?
La definizione di convergenza puntuale impone che prima si fissi $x$ e dopo si passi al limite per $n ->oo$ la successione numerica di termine generale $f_n(x)$.
Facendo in questo modo cosa trovi?
Facendo in questo modo cosa trovi?
"gugo82":Questo sto cercando di fare ma non ci riesco, praticamente mi fisso la $x$ e la valuto come se fosse un numero, infine passo al limite.
La definizione di convergenza puntuale impone che prima si fissi $ x $ e dopo si passi al limite per $ n ->oo $ la successione numerica di termine generale $ f_n(x) $.
Comunque prendo sempre il caso $|x|le 1/n$, devo prendere tipo $x=-1,1$ e $-1
Si ha
$x=1 to f_n(1) = 1+n-n^2$ allora $f_n to - infty$
$x=0 to f_n(0) = n$ allora.$f_n to + infty$
$0
Ok, grazie.
Mi sono letto il tuo topic inoltre, ho dato una sbirciata al seguente http://calvino.polito.it/~nicola/analis ... nzioni.pdf
Ho detto già che la funzione è pari dunque, devo studiare la seguente successione per poi procedere per simmetria
Per $x=0$ si ha $forall n in NN,\quad f_n(0)=n$ quindi $lim_n f_n(0)=+ infty. $
Essendo $1/n to 0$ per $n to + infty $ ossia $exists N in NN$ tale che $forall n ge N$ si ha $x > 1/n $,
praticamente ci ritroviamo nel secondo intervallo, dunque $forall n ge N$ si ha $f_n(x)=x^2$.
Quindi per $x>0$ segue $lim_n f_n(x)=x^2,$ cioè $f_n$ converge puntualmente a $f(x) =x^2$ per $x>0. $
Premetto che non so se ho svolto correttamente l'esercizio, in particolare, ho fatto l'esercizio prendendo spunto dal topic che mi hai consigliato e dal pdf che ho segnalato, però sono un pò insicuro di come si svolgono questi esercizi.
Se $x=0$ la cosa che faccio e di valutare il valore che assume la successione per poi passare al limite, invece, il perchè devo valutare $1/n$ per $n to + infty$ e bla bla non mi è chiaro o meglio, penso di aver capito ma non riesco a formalizzarlo.
Quello che intuisco che passando al limite, sia la successione che l'intervallo ${x in RR \:\ x>1/n},$ dipendono da $n$, quindi.... dopodiché non so continuare.
Ciao
Ho detto già che la funzione è pari dunque, devo studiare la seguente successione per poi procedere per simmetria
$ f_n(x)={ ( x^2+n-n^2x \qquad 0 le xle 1/n),( x^2 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad x>1/n ):} .$
Per $x=0$ si ha $forall n in NN,\quad f_n(0)=n$ quindi $lim_n f_n(0)=+ infty. $
Essendo $1/n to 0$ per $n to + infty $ ossia $exists N in NN$ tale che $forall n ge N$ si ha $x > 1/n $,
praticamente ci ritroviamo nel secondo intervallo, dunque $forall n ge N$ si ha $f_n(x)=x^2$.
Quindi per $x>0$ segue $lim_n f_n(x)=x^2,$ cioè $f_n$ converge puntualmente a $f(x) =x^2$ per $x>0. $
Premetto che non so se ho svolto correttamente l'esercizio, in particolare, ho fatto l'esercizio prendendo spunto dal topic che mi hai consigliato e dal pdf che ho segnalato, però sono un pò insicuro di come si svolgono questi esercizi.
Se $x=0$ la cosa che faccio e di valutare il valore che assume la successione per poi passare al limite, invece, il perchè devo valutare $1/n$ per $n to + infty$ e bla bla non mi è chiaro o meglio, penso di aver capito ma non riesco a formalizzarlo.
Quello che intuisco che passando al limite, sia la successione che l'intervallo ${x in RR \:\ x>1/n},$ dipendono da $n$, quindi.... dopodiché non so continuare.
Ciao
Mi fa piacere che stai esprimendo compiutamente i tuoi dubbi. Un po’ più su hai scritto “ci ho provato ma non riesco”, tipica frase da studente pigro, e avevo pensato di allontanarmi da questo topic, ma vedo che non era il caso.
Comunque, la cosa è estremamente più semplice di come la stai facendo tu. Le definizioni di funzioni si interpretano come se noi fossimo dei computer. Noi dobbiamo calcolare
\[
\lim_{n\to\infty} f_n(0),\]
quindi la prima cosa da fare è calcolare \(f_n(0)\). Qui \(n\) è un numero intero fissato che per il momento non andiamo a toccare. Andiamo a prendere la definizione, che è data per ogni \(x\in\mathbb R\) da
\[
f_n(x)=\begin{cases}
\text{qualcosa}, &0\le x <\frac 1n,\\
\text{qualcos’altro}, & x\ge \frac1n.
\end{cases}\]
Dobbiamo scegliere il “qualcosa” o il “qualcos’altro”? Per noi, \(x=0\). Quindi, qualunque sia il numero \(n\) che abbiamo fissato, saremo sempre nel primo caso, quello del “qualcosa”. Quindi \(f_n(0)\) è uguale a “qualcosa”. Fine.
Adesso passiamo a calcolare il limite. È un limite immediato. Ma veramente immediato, il più immediato possibile.
Comunque, la cosa è estremamente più semplice di come la stai facendo tu. Le definizioni di funzioni si interpretano come se noi fossimo dei computer. Noi dobbiamo calcolare
\[
\lim_{n\to\infty} f_n(0),\]
quindi la prima cosa da fare è calcolare \(f_n(0)\). Qui \(n\) è un numero intero fissato che per il momento non andiamo a toccare. Andiamo a prendere la definizione, che è data per ogni \(x\in\mathbb R\) da
\[
f_n(x)=\begin{cases}
\text{qualcosa}, &0\le x <\frac 1n,\\
\text{qualcos’altro}, & x\ge \frac1n.
\end{cases}\]
Dobbiamo scegliere il “qualcosa” o il “qualcos’altro”? Per noi, \(x=0\). Quindi, qualunque sia il numero \(n\) che abbiamo fissato, saremo sempre nel primo caso, quello del “qualcosa”. Quindi \(f_n(0)\) è uguale a “qualcosa”. Fine.
Adesso passiamo a calcolare il limite. È un limite immediato. Ma veramente immediato, il più immediato possibile.
"dissonance":
Mi fa piacere che stai esprimendo compiutamente i tuoi dubbi. Un po’ più su hai scritto “ci ho provato ma non riesco”, tipica frase da studente pigro, e avevo pensato di allontanarmi da questo topic, ma vedo che non era il caso.
Grazie.
Quindi, non devo dire $f_n(0)=n,$ ma $f_n(0)=x^2+n-n^2x$ dopodichè passo al limite
$lim _n f_n(0)= lim_n x^2+n-n^2x$,
in tal caso la $x$ la guardo come una "costante" ?
Ma la x non può apparire. Come fa ad apparire? Sei sicuro che ti sia chiaro cosa vuol dire “valutare una funzione in 0”? Significa che dove leggi x devi metterci uno zero. Rifletti bene su questa cosa, è una conoscenza matematica di base, non puoi avere dei dubbi così.
"dissonance":
Ma la x non può apparire. Come fa ad apparire? Sei sicuro che ti sia chiaro cosa vuol dire “valutare una funzione in 0”? Significa che dove leggi x devi metterci uno zero. Rifletti bene su questa cosa, è una conoscenza matematica di base, non puoi avere dei dubbi così.
Si, ma questo già l'ho fatto, "brutalmente: ho messo $0$ invece della $x$ e ho fatto i conti, poi sono passato al limite", cioè
"Pasquale 90":
Per $ x=0 $ si ha $ forall n in NN,\quad f_n(0)=n $ quindi $ lim_n f_n(0)=+ infty. $
Va bene.
Dunque ora rimane da verificare cosa succede in $(0,1/n]$, qui, sono un pò insicuro, come detto nel messaggio precedente, non ho ben capito perché bisogna osservare anche l'intervallo.
Quello che riesco a dire che fissando un $x$ in $(0,1/n]$ e, facendo variare $n$ l'intervallo si "restringe" sempre di più al tendere di $n$ a $+ infty.$
Pertanto si ottiene un intervallo degenere $0 le x le 0$ di conseguenza $lim_n f_n(x) = + infty.$
Quello che riesco a dire che fissando un $x$ in $(0,1/n]$ e, facendo variare $n$ l'intervallo si "restringe" sempre di più al tendere di $n$ a $+ infty.$
Pertanto si ottiene un intervallo degenere $0 le x le 0$ di conseguenza $lim_n f_n(x) = + infty.$
No: come ti ha già detto prima gugo82, nello studio della convergenza puntuale di $f_n$ per $x \in \left(0,\frac{1}{n}\right]$, devi pensare $x$ fissato in tale intervallo. Per aiutare l'intuizione, denotiamolo con $x_0$ per ricordarci che è fissato.
Essendo $x_0 \in \left(0,\frac{1}{n}\right]$ fissato, esso non può variare; quindi quando $\left(0,\frac{1}{n}\right] \to {0}$ per $n\to\infty$ esso non è costretto a "comprimersi verso $0$" al crescere di $n$ proprio perché non può variare; quindi, essendo $x_0>0$ ed essendo $\frac{1}{n} \to 0$ per $n\to \infty$, risulta che prima o poi (ossia: per $n$ abbastanza grande) è $x_0 >\frac{1}{n}$ e pertanto, per studiare il limite puntuale di $f_n$ per $n\to\infty$ quando $x \ne 0$, devi riferirti al caso $x \notin \left(0,\frac{1}{n}\right]$ nella definizione a tratti di $f_n$.
Puoi guardarlo anche "brutalmente": se fissi ad esempio $x_0=\frac{1}{1000}$, hai che $0 < \frac{1}{1000} \leq \frac{1}{n}$ per ogni $n \leq 1000$, ma non appena $n >1000$ è $\frac{1}{n} < \frac{1}{1000}$; ma tu sei interessato a sapere cosa succede quando $n\to\infty$, ossia quando $n$ diventa arbitrariamente grande e quindi anche più grande di $1000$.
Quindi, generalizzando, se il punto è fissato (come avviene nello studio della convergenza puntuale) non puoi dedurre nulla con il teorema dei due carabinieri, proprio perché, non variando, $x_0$ non viene trascinato a $0$ quando l'intervallo $\left(0,\frac{1}{n}\right]$ si restringe verso ${0}$ per $n\to\infty$.
Essendo $x_0 \in \left(0,\frac{1}{n}\right]$ fissato, esso non può variare; quindi quando $\left(0,\frac{1}{n}\right] \to {0}$ per $n\to\infty$ esso non è costretto a "comprimersi verso $0$" al crescere di $n$ proprio perché non può variare; quindi, essendo $x_0>0$ ed essendo $\frac{1}{n} \to 0$ per $n\to \infty$, risulta che prima o poi (ossia: per $n$ abbastanza grande) è $x_0 >\frac{1}{n}$ e pertanto, per studiare il limite puntuale di $f_n$ per $n\to\infty$ quando $x \ne 0$, devi riferirti al caso $x \notin \left(0,\frac{1}{n}\right]$ nella definizione a tratti di $f_n$.
Puoi guardarlo anche "brutalmente": se fissi ad esempio $x_0=\frac{1}{1000}$, hai che $0 < \frac{1}{1000} \leq \frac{1}{n}$ per ogni $n \leq 1000$, ma non appena $n >1000$ è $\frac{1}{n} < \frac{1}{1000}$; ma tu sei interessato a sapere cosa succede quando $n\to\infty$, ossia quando $n$ diventa arbitrariamente grande e quindi anche più grande di $1000$.
Quindi, generalizzando, se il punto è fissato (come avviene nello studio della convergenza puntuale) non puoi dedurre nulla con il teorema dei due carabinieri, proprio perché, non variando, $x_0$ non viene trascinato a $0$ quando l'intervallo $\left(0,\frac{1}{n}\right]$ si restringe verso ${0}$ per $n\to\infty$.
@ dissonance: Quella successione di intervalli tende a $emptyset$...
@ Pasquale90: Visto che $lim_n 1/n =0$, fissato $x>0$, per definizione di limite, esiste un indice $nu in NN$ tale che per ogni $n > nu$ risulti $1/n nu$ si ha $f_n(x) = x^2$ e passando al limite trovi $lim_n f_n(x) = lim_n x^2 = x^2$.
@ Pasquale90: Visto che $lim_n 1/n =0$, fissato $x>0$, per definizione di limite, esiste un indice $nu in NN$ tale che per ogni $n > nu$ risulti $1/n
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