Esercizio sulla teoria della misura di Lebesgue
Salve vorrei che mi diceste se ho svolto in modo esatto l'esercizio seguente.
Trovare $K$ un compatto con misura esterna positiva $|K|_e>0$ t.c. $Int(K)={text{vuoto}}$
Allora avevo pensato a un intervallo compatto di $QQ$, quindi del tipo $[q_0, q_1]$, con $q_0,q_1inQQ$, questo è un compatto perchè chiuso e limitato, e il suo interno è vuoto, $Int(K)={text{vuoto}}$, per l'assioma di continuità di Dedekind, perchè preso un qualunque $AAq_iin[q_0,q_1]K$ allora qualsiasi intorno $AAI(q_i,rho)$ con $rho>0$, non è interamente contenuto in $K$.
Per la positività della misuta esterna, $|K|:=text{inf}_{AsupK}p(A)$$>0$, perchè se prendo un quasiasi aperto $A$ che contiene $K$ allora sarà del tipo $(x_0,x_1)$ dove $x_0=q_0-epsilon$ e $x_1=q_1+epsilon$, segue che $A$ contiene propriamete $K$, inoltre l'inf di $A$ è positivo perchè sarà del tipo $|x_1-x_0|=|q_1+epsilon-q_0 +epsilon|=|q_1-q_0+2epsilon|$.
Ora data la relazione $|q_1-q_0+2epsilon|$ possiamo dire che $2epsilon->0$ perchè $epsilon$ è arbitrariamente piccolo a piacere ma $q_0$ e $q_1$ sono fissati e possono essere anche molto distanti.
Segue che la misura esterna è positiva.
Che dite fila???
Trovare $K$ un compatto con misura esterna positiva $|K|_e>0$ t.c. $Int(K)={text{vuoto}}$
Allora avevo pensato a un intervallo compatto di $QQ$, quindi del tipo $[q_0, q_1]$, con $q_0,q_1inQQ$, questo è un compatto perchè chiuso e limitato, e il suo interno è vuoto, $Int(K)={text{vuoto}}$, per l'assioma di continuità di Dedekind, perchè preso un qualunque $AAq_iin[q_0,q_1]K$ allora qualsiasi intorno $AAI(q_i,rho)$ con $rho>0$, non è interamente contenuto in $K$.
Per la positività della misuta esterna, $|K|:=text{inf}_{AsupK}p(A)$$>0$, perchè se prendo un quasiasi aperto $A$ che contiene $K$ allora sarà del tipo $(x_0,x_1)$ dove $x_0=q_0-epsilon$ e $x_1=q_1+epsilon$, segue che $A$ contiene propriamete $K$, inoltre l'inf di $A$ è positivo perchè sarà del tipo $|x_1-x_0|=|q_1+epsilon-q_0 +epsilon|=|q_1-q_0+2epsilon|$.
Ora data la relazione $|q_1-q_0+2epsilon|$ possiamo dire che $2epsilon->0$ perchè $epsilon$ è arbitrariamente piccolo a piacere ma $q_0$ e $q_1$ sono fissati e possono essere anche molto distanti.
Segue che la misura esterna è positiva.
Che dite fila???
Risposte
"squalllionheart":
Allora avevo pensato a un intervallo compatto di $QQ$, quindi del tipo $[q_0, q_1]$, con $q_0,q_1inQQ$, questo è un compatto perchè chiuso e limitato
Eh no... In $QQ$ non è così facile trovare compatti. Se questo insieme fosse compatto, e in particolare se i chiusi e limitati di $QQ$ lo fossero, $QQ$ sarebbe completo. No? Infatti ogni successione di Cauchy è limitata: se fosse vera la tua affermazione, allora ogni successione di Cauchy sarebbe contenuta in un compatto e perciò sarebbe convergente. Ma noi sappiamo che $QQ$ non è completo (lo costruiamo apposta $RR$).
Comunque questo esercizio mi interessa molto: tempo fa ci ho pensato ma non sono riuscito a concludere. Se ti può servire io sono arrivato a questo punto:
Io credo che la costruzione di un insieme compatto come quello che cerchi debba essere qualcosa di analogo alla costruzione dell'insieme di Cantor: prendiamo un intervallo chiuso e limitato, togliamogli qualcosa (di aperto), otteniamo un certo numero di intervalli; su ognuno di questi ripetiamo il procedimento, e così via. Alla fine quello che resta dopo aver iterato "infinite volte" sarà un insieme chiuso (perché ottenuto togliendo una unione di aperti da un chiuso) e limitato (perché contenuto in un intervallo limitato); e in $RR$ questo equivale alla compattezza, per il teorema di Heine-Borel.
Inoltre la misura di questo insieme, che in fondo è una intersezione numerabile di insiemi misurabili, sarà il limite di una qualche successione di misure. Tutto sta a far sì che questo limite non sia 0.
P.S.: naturalmente non so assolutamente se queste idee portino da qualche parte! A naso credo che la soluzione possa passare da qui. Se ti viene qualcosa in mente non esitare a farmelo sapere! Grazie.
Io credo che la costruzione di un insieme compatto come quello che cerchi debba essere qualcosa di analogo alla costruzione dell'insieme di Cantor: prendiamo un intervallo chiuso e limitato, togliamogli qualcosa (di aperto), otteniamo un certo numero di intervalli; su ognuno di questi ripetiamo il procedimento, e così via. Alla fine quello che resta dopo aver iterato "infinite volte" sarà un insieme chiuso (perché ottenuto togliendo una unione di aperti da un chiuso) e limitato (perché contenuto in un intervallo limitato); e in $RR$ questo equivale alla compattezza, per il teorema di Heine-Borel.
Inoltre la misura di questo insieme, che in fondo è una intersezione numerabile di insiemi misurabili, sarà il limite di una qualche successione di misure. Tutto sta a far sì che questo limite non sia 0.
P.S.: naturalmente non so assolutamente se queste idee portino da qualche parte! A naso credo che la soluzione possa passare da qui. Se ti viene qualcosa in mente non esitare a farmelo sapere! Grazie.
Su $QQ$ nn ci sono intervalli compatti? questa cosa da algebristi nn la capisco, $QQ$ è denso o no? e voi che definizione data a un denso? Ad esempio $RR$ è denso perchè $AAx_0in RR$ esiste una sempre una successione di Cauchy convergente a $x_0$. E questo nn vale per $QQ$. Il nodo è questo?? Perchè ogniuno se la rigira come vuole questa questione. Inoltre possiamo dire che gl intervalli $QQ$ sono numerabili. Se fossero nn numerabili come in $RR$ allora..........................Fate per favore un attimo di chiarezza. Please
un insieme come quello richiesto si costruisce cosi'
"squalllionheart":
Su $QQ$ nn ci sono intervalli compatti? questa cosa da algebristi nn la capisco, $QQ$ è denso o no? e voi che definizione data a un denso? Ad esempio $RR$ è denso perchè $AAx_0in RR$ esiste una sempre una successione di Cauchy convergente a $x_0$. E questo nn vale per $QQ$. Il nodo è questo?? Perchè ogniuno se la rigira come vuole questa questione. Inoltre possiamo dire che gl intervalli $QQ$ sono numerabili. Se fossero nn numerabili come in $RR$ allora..........................Fate per favore un attimo di chiarezza. Please
La densita' e' una proprieta' relativa a due insiemi: $A\subset B$ e' denso in $B$ se la chiusura di $A$ e' $B$ - ovviamente ogni insieme e' denso in se'.
Per quanto riguarda la compattezza mi pare ovvio che gli intervalli nei razionali non sono compatti in quanto sono sottoinsiemi non chiusi di $\RR$
( o, se se li vogliamo vedere solo in $\QQ$, non sono completi).
Infatti credo proprio che cantor nn va bene perchè tale insieme è misurabile con misura nulla, pur avendo la cardinalità del continuo. Ma se è misurabile la misura interna coincide con l'esterna quindi anche $|C|=|C|_e=|C|_i=0$
"squalllionheart":
Infatti credo proprio che cantor nn va bene perchè tale insieme è misurabile con misura nulla, pur avendo la cardinalità del continuo. Ma se è misurabile la misura interna coincide con l'esterna quindi anche $|C|=|C|_e=|C|_i=0$
Quello che dici e' giusto nel caso del "Cantor ternario" in cui a ogni passo si toglie un terzo. Ma, come dicevo nel post precedente, si puo' togliere meno di un terzo
(potresti dividere l'intervallo in cinque parti e sottrarre solo l'intervallo centrale) - in questo modo cio' che rimane ha misura positiva. A occhio, ma ora non saprei precisare
come fare, l'insieme cosi' costruito (che e' chiuso) dovrebbe avere prete interma vuota.
Comunque mi pare che l'altra costruzione vada bene
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