Esercizio sulla sommabilità di un intergrale
Buona sera a tutti, sono giorni che tento in vano di risolvere questo esercizio ed in nessun caso mi viene sommabile, c'è sempre qualcosa che mi fa divergere tutto. Questo integrale è sommabile nell'intervallo $]0;1[$ ? Se possibile mi aiuterebbe capire lo svolgimento ed il ragionamento dietro questo indomabile esercizio!
$intlogx/((1-x)^(3/2))$
Grazie mille.
$intlogx/((1-x)^(3/2))$
Grazie mille.
Risposte
Ciao,
forse ci vuole uno più bravo di me che questi concetti li ho appena accennati, ma: nell'intorno destro dello $0$ ciò che da "fastidio" è $logx$ e direi che sommabile dato che:
$\int logxdx = xlogx-x +C -> C$ se $x->0$. In un intorno sinistro di $1$ invece ciò che da "fastidio" è $1/((1-x)^(3/2))$ che si comporta come $1/(x^(3/2))$ nei pressi dello $0$ e questo non è sommabile. L'integrale
$\int_0^1 logx/((1-x)^(3/2)) dx$ non è sommabile, almeno questa è la mia conclusione. Tu che ne dici?
forse ci vuole uno più bravo di me che questi concetti li ho appena accennati, ma: nell'intorno destro dello $0$ ciò che da "fastidio" è $logx$ e direi che sommabile dato che:
$\int logxdx = xlogx-x +C -> C$ se $x->0$. In un intorno sinistro di $1$ invece ciò che da "fastidio" è $1/((1-x)^(3/2))$ che si comporta come $1/(x^(3/2))$ nei pressi dello $0$ e questo non è sommabile. L'integrale
$\int_0^1 logx/((1-x)^(3/2)) dx$ non è sommabile, almeno questa è la mia conclusione. Tu che ne dici?
Io invece direi che in \(\displaystyle [0,1] \) non è sommabile ma nell'insieme \(\displaystyle ]0,1[ \) (quello richiesto dall'esercizio) non abbiamo nessun problema. La \(\displaystyle f(x) \) è regolare quando gli estremi sono esclusi quindi in \(\displaystyle ]0,1[ \) l'integrale esiste e converge.
Barando un pochino (usando Mathematica) si vede che :
quindi, esistendo finito l'integrale, ribadisco che secondo me è sommabile.
Barando un pochino (usando Mathematica) si vede che :
\(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{log(x)}{(1-x)^{\frac{3}{2}}} = -2\;log(4) \)
quindi, esistendo finito l'integrale, ribadisco che secondo me è sommabile.
ohibò hai ragione. Tra l'altro, io avevo solo espresso una mia possibile soluzione, lungi dall'essere certa. Grazie del tuo intervento.
ma di che 
tranquillo!
tranquillo!
Grazie ad entrambi per l'aiuto, ho capito l'errore 
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Anche io ho scovato l'errore, grazie ancora ad Oiram92 che mi ha spinto a ragionare di più. Nell'intorno di 1, da buon fesso, non avevo tenuto conto il fatto che $logx$ ha il suo "peso", così l'ho sviluppato con taylor:
$logx=(x-1) + o(x-1)$ A questo punto $(x-1)/((1-x)^(3/2)$ converge e quindi l'integrale è sommabile
Per di più si può calcolare la primitiva, è esprimibile in termini di funzioni elementari. Riporto il risultato:
$\int (logx)/((1-x)^(3/2)) dx = (2logx)/sqrt(1-x) + 2log((1+sqrt(1-x))/(1-sqrt(1-x))) + C$
(ci andrebbero i valori assoluti)
$logx=(x-1) + o(x-1)$ A questo punto $(x-1)/((1-x)^(3/2)$ converge e quindi l'integrale è sommabile
Per di più si può calcolare la primitiva, è esprimibile in termini di funzioni elementari. Riporto il risultato:
$\int (logx)/((1-x)^(3/2)) dx = (2logx)/sqrt(1-x) + 2log((1+sqrt(1-x))/(1-sqrt(1-x))) + C$
(ci andrebbero i valori assoluti)
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