Esercizio sulla sommabilità

[maria601]

Data la funzione $ y= 1/(x^a(1+x^(1/2)) $ per studiare la sommabilità al variare di a nell'intervallo $ [1 oo ] $ , ho cercato di confrontare con l'infinitesimo 1/x ma senza riuscirci......come potrei fare ?

[Camillo]

I punti critici per la sommabilità sono $x=0 ; x rarr +oo$.
Nell'intorno di $x=0 $ la funzione $y$ è asintotica a $1/x^a $ ; perchè sia integrabile deve essere $a<1 $ ma essendo $a in [ 1,+oo) $ la funzione non è integrabile il che mi sorprende... a meno che ci sia un errore nel testo.
Esaminiamo lo stesso cosa succederebbe nell'intorno di $+oo $ :la funzione è asintotica a $1/x^(a+1/2)$ , per l'integrabilità deve aversi $ a+1/2 > 1 $ da cui $ a> 1/2 $.
Se il dato del problema fosse $a> 0 $ allora la funzione sarebbe sommabile per $1/2

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[maria601]

Scusami tanto, ma ho sbgliato , volevo dire sommabile in quell'intervallo, mentre a è variabile, cioè si deve stabilire la sommmabilità nell'intervallo 1 , infinito al variare di a. Scusa l'ignoranza :quando dici che è asintotica nell'intorno di zero verso $ 1/x^a $, s'intende che va verso quel valore, perchè ? forse $ x^(1/2) $ è trascurabile ? grazie