Esercizio sulla serie di funzioni: ho fatto bene?

[Izzo2]

Data la seguente serie di funzioni determinare la convergenza puntuale ed uniforme: $ sum_(n = 0\ldots) n/2^(n+1) (x+1)^n$

Procedo in questo modo: pongo $y= x+1$ e $an = n/2^(n+1)$ sapendo che il punto di centro è 1.
Per trovare il raggio di convergenza $R$ utilizzo il criterio del rapporto, quindi :
$lim_(n -> +oo ) (an+1)/(an) = (n+1)/ 2^(n+2)* (2^(n+1))/n = (n+1)/(2^n * 4) * (2^n *2)/n = (n+1)/(2n) = 1/2$
Quindi il raggio di convergenza $R =2$.
Si avrà $-2 $x+1 > -2 rArr x> -3$ e $x+1 < 2 rArr x<1$.
Vediamo se a questi estremi di intervallo la serie converge:
per -3 $ sum_(n = 0\ldots) n/2^(n+1) (-3)^n rArr $ diverge
per 1 $ sum_(n = 0\ldots) n/2^(n+1) (1)^n = 0$ quindi può convergere.
Verifichiamo: $lim_(n -> +oo ) (an+1)/(an) = ((n+1) * 1^(n+1))/ 2^(n+2)* 2^(n+1)/(n*1^(n)) = ((n+1) * 1^n *1)/ (2^n *4) * (2^n *2)/( n*1^n) = n/(2n) = 1/2$ quindi converge.
In conclusione la serie converge puntualmente in $ ]-3,1] $ e uniformemente in $[1-k, 1+k], 0 Ho fatto bene?

[dissonance]

Il punto di centro è $-1$. Hai sbagliato a scrivere l'intervallo di convergenza uniforme. Per il resto ok

[Izzo2]

Perchè è $-1$? Come si determina il punto di centro?

[dissonance]

In quel punto si annullano tutte le potenze. Nel tuo caso le potenze sono $(x+1)^n$ quindi si annullano per $x=-1$. Di solito il centro è $0$ e infatti di solito le potenze sono $x^n$

[Izzo2]

Grazie, quindi la convergenza uniforme andava scritta come : $[-1-k, -1+k] , 0 E se avessi $(x^2 -x)^n$ il punto di centro è $1$?

[dissonance]

SI, ma io avrei scritto più semplicemente $[-3+k, 1-k]$ , con $k$ piccolo, qualcosa del genere.

Sull'altro polinomio, quella non è una potenza semplice. Infatti vedi bene che è un polinomio di secondo grado. Non puoi quindi applicare a scatola chiusa la teoria delle serie di potenze, devi ragionarci un po'.

[Izzo2]

Se mi aiuteresti a ragionarci sarei molto contento

[dissonance]

(Attenzione ai congiuntivi).

Devi spiegare cosa vuoi fare. Stai risolvendo un esercizio? Qual è la traccia? Cosa hai fatto fino adesso?

[Izzo2]

La serie di funzioni è questa: $sum_(n =0 \ldots) (n-1)/((2^n)(n+2)) (x^2 -x)^n$ . Pongo $y= x^2 -x$.
Non ti riporto i calcoli, comunque mi trovo che il raggio di convergenza è $R =2$.
Quindi $-2 Sostituendo y mi trovo che è compreso tra gli intervalli -1 e 1. Per -1 converge per Liebniz e per 1 converge. Quindi la serie converge puntualmente e uniformemente in $[-1,1]$.
Quello che mi chiedo io è: se per -1 e 1 la serie non convergeva, gli intervalli erano aperti ed io so che in questo caso la serie convergeva uniformemente in ogni intervallo $[xo-k, xo +k], 0 dove xo è il punto di centro. Ma in questo caso qual è il punto di centro?
PS. Mi sono sorpreso anche io per l'errore sul congiuntivo.

[dissonance]

Sono due i "punti di centro". Riscrivi in $x$ la condizione $y\in[-1+k, 1-k]$. Si tratta di risolvere una disequazione di secondo grado.

[Izzo2]

Sono $0$ ed $1$, e quindi come scrivo la convergenza uniforme? Così? $ [-k, 1+k], 0 Oppure ne devo scrivere due? $[-k,k] U [1-k, 1+k], 0

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[dissonance]

Daccapo. Le disequazioni, non devi dimenticarle. In $y$ la condizione è $-1+k\le y \le 1-k$. Sostituisci $y$ e risolvi la disequazione in $x$. Non lo so qual è la risposta, devi trovarla tu e non devi avere dubbi.