Esercizio sulla ricerca di massimi e minimi relativi
Salve a tutti ragazzi, non so come risolvere questo esercizio... Mi chiede di trovare i massimi e minimi della funzione:
$f(x,y)=arctg(|xy|/(2x^2+3y^2))$ avente dominio $(x,y)!=(0,0)$.... Essendo la funzione $f(z)=arctg(z)$ crescente, è sufficiente studiare l'argomento... poiché la funzione $g(x,y)=|xy|/(2x^2+3y^2)$ è simmetrica, è possibile studiarla per $xy>0$...
Il sistema delle derivate parziali prime, semplificato, risulta il seguente:
$\{(y(3y^2-2x^2)=0),(x(2x^2-3y^2) = 0):}$ da cui, l'unica soluzione è la conica riducibile $3y^2-2x^2=0$... Quest'ultima può essere scritta come prodotto delle due rette e, studiando la funzione nel primo quadrante, la conica può essere ridotta alla retta $y=sqrt(2/3)x$... La funzione nel primo quadrante è sempre positiva, non esiste nell'origine e si annulla sugli assi, dove, quindi, assume il minimo.. Si intuisce quindi che i punti della retta siano di massimo relativo... Ho provato a calcolare l'hessiano di un punto generico $(x,sqrt(2/3)x)$, ma questo risulta essere nullo.. Come dimostrare che i punti sono di massimo?
$f(x,y)=arctg(|xy|/(2x^2+3y^2))$ avente dominio $(x,y)!=(0,0)$.... Essendo la funzione $f(z)=arctg(z)$ crescente, è sufficiente studiare l'argomento... poiché la funzione $g(x,y)=|xy|/(2x^2+3y^2)$ è simmetrica, è possibile studiarla per $xy>0$...
Il sistema delle derivate parziali prime, semplificato, risulta il seguente:
$\{(y(3y^2-2x^2)=0),(x(2x^2-3y^2) = 0):}$ da cui, l'unica soluzione è la conica riducibile $3y^2-2x^2=0$... Quest'ultima può essere scritta come prodotto delle due rette e, studiando la funzione nel primo quadrante, la conica può essere ridotta alla retta $y=sqrt(2/3)x$... La funzione nel primo quadrante è sempre positiva, non esiste nell'origine e si annulla sugli assi, dove, quindi, assume il minimo.. Si intuisce quindi che i punti della retta siano di massimo relativo... Ho provato a calcolare l'hessiano di un punto generico $(x,sqrt(2/3)x)$, ma questo risulta essere nullo.. Come dimostrare che i punti sono di massimo?
Risposte
Può esserti d'aiuto osservare che la funzione \(g\) è positivamente $0$-omogenea.
E il fatto che sia positivamente omogenea di grado zero cosa implica? Si può sfruttare l'identità di Eulero in qualche modo?
Per la disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica:
\[
\tag{AMGM}
\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}
\]
(qui \(a,b\geq 0\)) hai:
\[
2x^2+3y^2 = 2\ \frac{\overbrace{(\sqrt{2}\ x)^2}^{\color{red}{=a}}+\overbrace{(\sqrt{3}\ y)^2}^{\color{red}{=b}}}{2} \stackrel{\text{(AMGM)}}{\geq} 2\ \sqrt{(\sqrt{2}\ x)^2\ (\sqrt{3}\ y)^2}=2\ \sqrt{6}\ |xy|
\]
cioè:
\[
g(x,y)=\frac{|xy|}{2x^2+3y^2}\leq \frac{1}{2\sqrt{6}}
\]
per ogni \((x,y)\in \mathbb{R}^2\setminus \{(0,0)\}\); e, dato che l'uguaglianza in (AMGM) è soddisfatta solo se \(a=b\), hai:
\[
g(x,y)=\frac{1}{2\sqrt{6}} \qquad \Leftrightarrow \qquad 2x^2=3y^2 \qquad \Leftrightarrow \qquad y=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}\ x\; .
\]
Pertanto i punti delle rette di equazioni \(y=\pm \sqrt{2/3}\ x\) distinti dall'origine sono tutti punti di massimo per \(g\) (e ti puoi risparmiare i conti dell'hessiano!
).
\[
\tag{AMGM}
\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}
\]
(qui \(a,b\geq 0\)) hai:
\[
2x^2+3y^2 = 2\ \frac{\overbrace{(\sqrt{2}\ x)^2}^{\color{red}{=a}}+\overbrace{(\sqrt{3}\ y)^2}^{\color{red}{=b}}}{2} \stackrel{\text{(AMGM)}}{\geq} 2\ \sqrt{(\sqrt{2}\ x)^2\ (\sqrt{3}\ y)^2}=2\ \sqrt{6}\ |xy|
\]
cioè:
\[
g(x,y)=\frac{|xy|}{2x^2+3y^2}\leq \frac{1}{2\sqrt{6}}
\]
per ogni \((x,y)\in \mathbb{R}^2\setminus \{(0,0)\}\); e, dato che l'uguaglianza in (AMGM) è soddisfatta solo se \(a=b\), hai:
\[
g(x,y)=\frac{1}{2\sqrt{6}} \qquad \Leftrightarrow \qquad 2x^2=3y^2 \qquad \Leftrightarrow \qquad y=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}\ x\; .
\]
Pertanto i punti delle rette di equazioni \(y=\pm \sqrt{2/3}\ x\) distinti dall'origine sono tutti punti di massimo per \(g\) (e ti puoi risparmiare i conti dell'hessiano!
).
Grazie mille... Davvero gentilissimo! 
Prego.
Intanto ho corretto un po' la forma.
Ricordarsi le disuguaglianze tra medie viene in aiuto parecchie volte: tienilo presente.
Intanto ho corretto un po' la forma.
Ricordarsi le disuguaglianze tra medie viene in aiuto parecchie volte: tienilo presente.
Ringrazio Gugo82 per la prontezza e per la chiarezza della risposta... Grazie davvero! Sarei curioso di sapere, comunque, come avrei potuto sfruttare il fatto che la g(x,y) è positivamente omogenea, chiedendo a Rigel o a Gugo82 stesso!
Una funzione positivamente $0$-omogenea è costante su ogni semiretta uscente dall'origine; ti basta dunque determinare gli estremi (relativi e assoluti) della sua restrizione, ad esempio, alla circonferenza unitaria, vale a dire della funzione di una variabile
\[
\phi(\theta) := g(\cos\theta, \sin\theta),\qquad \theta\in [-\pi, \pi].
\]
In questo caso, per semplificare ulteriormente i conti, può essere utile considerare direttamente la restrizione all'ellisse \(2x^2+3y^3=1\), parametrizzata da \(x(\theta) = \cos\theta / \sqrt{2}\), \(y(\theta) = \sin\theta / \sqrt{3}\), vale a dire
\[
\phi(\theta) = \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot |\cos\theta\, \sin\theta| = \frac{1}{2\sqrt{6}}\, |\sin(2\theta)|.
\]
Ottieni i punti di massimo assoluto per \(\theta = \pm \pi/4\) e \(\theta = \pm 3\pi/4\), mentre i punti di minimo assoluto (dove la funzione è nulla) li trovi per \(\theta = \pm \pi/2\) e \(\theta = \pm\pi\).
Ogni valore di \(\theta\) così trovato individua una semiretta; ad esempio, per \(\theta = \pi/4\) hai la semiretta passante per l'origine ed il punto \((x(\pi/4), y(\pi/4)) = (1/2, 1/\sqrt{6})\), vale a dire \(y = \sqrt{\frac{2}{3}}\, x\), \(x> 0\).
Per \(\theta = -\pi/4\) ottieni la semiretta opposta, \(y = -\sqrt{\frac{2}{3}}\, x\), \(x> 0\), etc etc.
\[
\phi(\theta) := g(\cos\theta, \sin\theta),\qquad \theta\in [-\pi, \pi].
\]
In questo caso, per semplificare ulteriormente i conti, può essere utile considerare direttamente la restrizione all'ellisse \(2x^2+3y^3=1\), parametrizzata da \(x(\theta) = \cos\theta / \sqrt{2}\), \(y(\theta) = \sin\theta / \sqrt{3}\), vale a dire
\[
\phi(\theta) = \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot |\cos\theta\, \sin\theta| = \frac{1}{2\sqrt{6}}\, |\sin(2\theta)|.
\]
Ottieni i punti di massimo assoluto per \(\theta = \pm \pi/4\) e \(\theta = \pm 3\pi/4\), mentre i punti di minimo assoluto (dove la funzione è nulla) li trovi per \(\theta = \pm \pi/2\) e \(\theta = \pm\pi\).
Ogni valore di \(\theta\) così trovato individua una semiretta; ad esempio, per \(\theta = \pi/4\) hai la semiretta passante per l'origine ed il punto \((x(\pi/4), y(\pi/4)) = (1/2, 1/\sqrt{6})\), vale a dire \(y = \sqrt{\frac{2}{3}}\, x\), \(x> 0\).
Per \(\theta = -\pi/4\) ottieni la semiretta opposta, \(y = -\sqrt{\frac{2}{3}}\, x\), \(x> 0\), etc etc.
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