Esercizio sulla ricerca di asintoto obliquo..
Dimostrare che la funzione f(x)= x²((√x²+1) - (√x²-1)) con x >=0 ha un asintoto obliquo per x→∞.
Siccome l'equazione dell'asintoto obliquo è y=mx+q, io ho iniziato a risolvere il limite moltiplicando f(x) per 1/x per trovare m che mi è tornato 1. Quando cerco di trovare q facendo il limite di f(x) - x trovo sempre infinito e non è possibile...
Potete aiutarmi???
Grazie mille!
Siccome l'equazione dell'asintoto obliquo è y=mx+q, io ho iniziato a risolvere il limite moltiplicando f(x) per 1/x per trovare m che mi è tornato 1. Quando cerco di trovare q facendo il limite di f(x) - x trovo sempre infinito e non è possibile...
Potete aiutarmi???
Grazie mille!
Risposte
Se ci fai vedere i conti che hai fatto forse ti aiutiamo a capire ove hai sbagliato 
quale delle due?
$sqrt(x^2 + 1) - sqrt(x^2 - 1)$
$sqrtx^2 + 1 - sqrtx^2 - 1$
$sqrt(x^2 + 1) - sqrt(x^2 - 1)$
$sqrtx^2 + 1 - sqrtx^2 - 1$
La prima...
Ho provato a fare due calcoli, non ho problemi con il calcolo di q, visto che m mi viene $+oo$
No a me m torna 1..
Moltiplico la funzione iniziale per 1/x,semplifico e dopo razionalizzando e mettendo in evidenza la potenza maggiore il risultato è 1..
Moltiplico la funzione iniziale per 1/x,semplifico e dopo razionalizzando e mettendo in evidenza la potenza maggiore il risultato è 1..
Metto solo i conti senza riscrivere tutte le volte che è un limite per x che tende a +∞..
x^2(sqrt(x^2+1) - sqrt(x^2-1))* 1/x=
razionalizzo..
x(sqrt(x^2+1) - sqrt(x^2-1))*[(sqrt(x^2+1) + sqrt(x^2-1))/(sqrt(x^2+1) - sqrt(x^2-1))]=
x(2)/(sqrt(x^2+1) - sqrt(x^2-1))=
Metto in evidenza la potenza maggiore al denominatore e semplifico la radice ottenendo
2x/2x=1 Ho trovato m=1
x^2(sqrt(x^2+1) - sqrt(x^2-1))-x=
Razionalizzo
(x^2(sqrt(x^2+1) - sqrt(x^2-1))-x )*[(sqrt(x^2+1) + sqrt(x^2-1))/(sqrt(x^2+1) - sqrt(x^2-1))]=
Poi mi fermo!!
x^2(sqrt(x^2+1) - sqrt(x^2-1))* 1/x=
razionalizzo..
x(sqrt(x^2+1) - sqrt(x^2-1))*[(sqrt(x^2+1) + sqrt(x^2-1))/(sqrt(x^2+1) - sqrt(x^2-1))]=
x(2)/(sqrt(x^2+1) - sqrt(x^2-1))=
Metto in evidenza la potenza maggiore al denominatore e semplifico la radice ottenendo
2x/2x=1 Ho trovato m=1
x^2(sqrt(x^2+1) - sqrt(x^2-1))-x=
Razionalizzo
(x^2(sqrt(x^2+1) - sqrt(x^2-1))-x )*[(sqrt(x^2+1) + sqrt(x^2-1))/(sqrt(x^2+1) - sqrt(x^2-1))]=
Poi mi fermo!!
Il metodo più rapido per risolvere l'esercizio è utilizzare gli sviluppi di Taylor.
1. Ricorda che se una funzione può scriversi nella forma f(x)=mx+q+g(x) dove g(x) è infinitesimo per x che tende per esempio a più infinito, allora y =mx+q è asintoto obliquo per la funzione.
2. Scrivi la funzione nella forma: $x^3(sqrt(1+1/x^2)-sqrt(1-1/x^2))$. Sviluppando $sqrt(1+1/x^2)-sqrt(1-1/x^2)$ in serie di taylor (effettua prima lo sviluppo di $(1+t^2)^(1/2)-(1-t^2)^(1/2))$ per t che tende a 0 e poi sostituisci 1/x al posto di t ) trovi che $ f(x)=x^3(1/x^2+o(1/x^3))=x+o(1)$. Ora o(1), per definizione, è un termine infinitesimo quindi per quando detto prima puoi concludere che y = x è asintoto obliquo per x che tende a più infinito.
Il metodo "classico" basato su m e q è piuttosto laborioso. Una volta trovato m, per trovare q devi calcolare il limite per x che tende a più infinito di:
$x^2(sqrt(x^2+1)-sqrt(x^2-1))-x$
Un modo per farlo è il seguente:
1. lo riscrivi nella forma
$ x^3(sqrt(1+1/x^2)-sqrt(1-1/x^2)-1/x^2)$
2. Poni 1/x=t e ti riconduci al limite per t che tende a 0 di:
$((1+t^2)^(1/2)-(1-t^2)^(1/2)-t^2)/t^3$
3. Questo limite si può risolvere per esempio applicando 2 volte il teorema di de l'Hopital ; si trova che il risultato è 0, quindi q=0.
1. Ricorda che se una funzione può scriversi nella forma f(x)=mx+q+g(x) dove g(x) è infinitesimo per x che tende per esempio a più infinito, allora y =mx+q è asintoto obliquo per la funzione.
2. Scrivi la funzione nella forma: $x^3(sqrt(1+1/x^2)-sqrt(1-1/x^2))$. Sviluppando $sqrt(1+1/x^2)-sqrt(1-1/x^2)$ in serie di taylor (effettua prima lo sviluppo di $(1+t^2)^(1/2)-(1-t^2)^(1/2))$ per t che tende a 0 e poi sostituisci 1/x al posto di t ) trovi che $ f(x)=x^3(1/x^2+o(1/x^3))=x+o(1)$. Ora o(1), per definizione, è un termine infinitesimo quindi per quando detto prima puoi concludere che y = x è asintoto obliquo per x che tende a più infinito.
Il metodo "classico" basato su m e q è piuttosto laborioso. Una volta trovato m, per trovare q devi calcolare il limite per x che tende a più infinito di:
$x^2(sqrt(x^2+1)-sqrt(x^2-1))-x$
Un modo per farlo è il seguente:
1. lo riscrivi nella forma
$ x^3(sqrt(1+1/x^2)-sqrt(1-1/x^2)-1/x^2)$
2. Poni 1/x=t e ti riconduci al limite per t che tende a 0 di:
$((1+t^2)^(1/2)-(1-t^2)^(1/2)-t^2)/t^3$
3. Questo limite si può risolvere per esempio applicando 2 volte il teorema di de l'Hopital ; si trova che il risultato è 0, quindi q=0.
Grazie mille!!!!:D:D:D
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