Esercizio sulla periodicità della primitiva

[miles_davis1]

Sia $f:RR->RR$ continua e $2pi$-periodica, e sia

$F(t)=int_0^t f(s) ds$

Dimostrare che $"sup"_(t in RR) |F(t)|$ è finito se e solo se F è periodica

[Sk_Anonymous]

Se $f(t)$ è periodica di periodo $p*pi$, essa è svilupppabile in serie di Fourier come...

$f(t)= a_0 + sum_(n=1)^(oo) a_n* cos (2*pi*n*t) + b_n * sin(2*pi*n*t)$ (1)

Calcoliamo ora $F(t)$...

$F(t)= int_0^t f(s)*ds= a_0*t + sum_(n=1)^(oo) (a_n)/(2*pi*n)* sin (2*pi*n*t)- sum_(n=1)^(oo) (b_n)/(2*pi*n)*cos (2*pi*n*t)$ (2)

Dalla (2) si vede chiramente che, se la $f(t)$ è limitata ed è $a_0=0$, anche la $F(t)$ è periodica e limitata...

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may loose his teeth, but never his nature