Esercizio sulla misura
Buongiorno!
Sia $mu$ definita sulla $sigma$-algebra di Borel di $RR$ come:
$mu(A)=$ numero di elementi di A
$mu(A)=+infty$ se A è infinito.
Provare che $mu$ è una misura e che non è $sigma$-finita.
Come devo impostare questo esercizio?
Da cosa devo iniziare?
Sia $mu$ definita sulla $sigma$-algebra di Borel di $RR$ come:
$mu(A)=$ numero di elementi di A
$mu(A)=+infty$ se A è infinito.
Provare che $mu$ è una misura e che non è $sigma$-finita.
Come devo impostare questo esercizio?
Da cosa devo iniziare?
Risposte
Inizia a dimostrare che \(\mu\) è una misura (basta verificare le proprietà).
"Verificare le proprietà" intendi
_$mu(Ø)=0$
_$AsubeB$ con $A,B in M$ $=>mu(A)<=mu(B)$
_$A_n$ crescente con $A_n sube M$ $=>mu(uuu_{n=1}^infty A_n)=lim_{n\to\infty} mu(A_n)$
_$E_n$ decrescente con $E_n sube M$ e $mu(E_n)<+infty$ $=>mu(nnn_{n=1}^infty E_n)=lim_{n\to\infty} mu(E_n)$.
_$mu(Ø)=0$
_$AsubeB$ con $A,B in M$ $=>mu(A)<=mu(B)$
_$A_n$ crescente con $A_n sube M$ $=>mu(uuu_{n=1}^infty A_n)=lim_{n\to\infty} mu(A_n)$
_$E_n$ decrescente con $E_n sube M$ e $mu(E_n)<+infty$ $=>mu(nnn_{n=1}^infty E_n)=lim_{n\to\infty} mu(E_n)$.
Intende, verificare che \(\mu\) soddisfa la definizione di misura che ti hanno dato a lezione. 
N.B.: Di solito le proprietà che citi non vengono scelte per definire cos'è una misura, perché sono "complicate" da verificare... Però è questione di gusti.
N.B.: Di solito le proprietà che citi non vengono scelte per definire cos'è una misura, perché sono "complicate" da verificare... Però è questione di gusti.
La definizione che i hanno dato è la seguente:
Sia $(X,M)$ uno spazio misurabile. Diremo che $mu:M->[o,+infty]$ è una misura positiva se $EE E in M$ tale che $mu(E)<+infty$ e $mu$ è numerabilmente additiva, cioè $mu(uuu_{n=1}^infty A_n)=sum_{n=1}^infty mu(A_n)$.
Questa è la definizione data a lezione. Ma come devo usarla?
Sia $(X,M)$ uno spazio misurabile. Diremo che $mu:M->[o,+infty]$ è una misura positiva se $EE E in M$ tale che $mu(E)<+infty$ e $mu$ è numerabilmente additiva, cioè $mu(uuu_{n=1}^infty A_n)=sum_{n=1}^infty mu(A_n)$.
Questa è la definizione data a lezione. Ma come devo usarla?
La devi usare come hai sempre usato, ad esempio, la definizione di spazio vettoriale per verificare che una struttra assegnata è effettivamente uno spazio vettoriale...
Insomma, ti devi chiedere: 1 esistono insiemi di misura finita? e 2 è vero che presa una qualsiasi successione di insiemi misurabili disgiunti, la misura dell'unione è uguale alla somma delle misure dei vari insiemi?
P.S.: Com'è andata a finire con le funzioni \(L^p\)?
Insomma, ti devi chiedere: 1 esistono insiemi di misura finita? e 2 è vero che presa una qualsiasi successione di insiemi misurabili disgiunti, la misura dell'unione è uguale alla somma delle misure dei vari insiemi?
P.S.: Com'è andata a finire con le funzioni \(L^p\)?
Va bene. Osserva se ho compreso il ragionamento da mettere in pratica.
Dunque:
$(X=RR, M=B(RR), mu)$ questo è lo spazio di misura richiesto dall'esercizio.
1 Per come è stata definita $mu$, se prendo un insieme finito $A in B(RR)$ $=>$ $mu(A)<+infty$ $=>$ $EE$ insiemi di misura finita.
2 Prendiamo una successione di insiemi misurabili $(A_n)_(n in NN) sube B(RR)$ tale che $A_i nn A_j=Ø, AA i!=j$, avremo che $mu(uuu_{n=1}^infty A_n)=sum_{n=1}^infty mu(A_n)$.
Va bene se lo imposto così?
Dunque:
$(X=RR, M=B(RR), mu)$ questo è lo spazio di misura richiesto dall'esercizio.
1 Per come è stata definita $mu$, se prendo un insieme finito $A in B(RR)$ $=>$ $mu(A)<+infty$ $=>$ $EE$ insiemi di misura finita.
2 Prendiamo una successione di insiemi misurabili $(A_n)_(n in NN) sube B(RR)$ tale che $A_i nn A_j=Ø, AA i!=j$, avremo che $mu(uuu_{n=1}^infty A_n)=sum_{n=1}^infty mu(A_n)$.
Va bene se lo imposto così?
Inoltre volevo chiedere: cosa significa $sigma$-finita? È la prima volta che la vedo e sulla teoria non l'ho vista... Può essere che sia chiamata in altro modo sui miei appunti. Puoi gentilmente dirmi che cos'è e cosa significa?
Certo.
Ovviamente, in generale la cosa "difficile" è far vedere che vale la 2... Ma in questo caso è molto semplice.
Inoltre, dire che una misura \(\mu\) è \(\sigma\)-finita (o numerabimente finita) significa dire che esiste una successione \((E_n)\subseteq X\) di insiemi misurabili, ognuno avente misura finita, la cui unione è tutto lo spazio, cioè una successione tale che:
i. \(X=\bigcup_{n=0}^\infty E_n\);
ii. \(\mu(E_n)<\infty\) per ogni indice \(n\).
Perciò, dire che \(\mu\) non è \(\sigma\)-finita significa che non esiste alcuna successione \((E_n)\) di misurabili che goda delle i e ii.
Nel tuo caso, dato che lo spazio di misura è "grande" (nel senso della cardinalità), non dovresti avere difficoltà a fare una piccola dimostrazione per assurdo.
Ovviamente, in generale la cosa "difficile" è far vedere che vale la 2... Ma in questo caso è molto semplice.
Inoltre, dire che una misura \(\mu\) è \(\sigma\)-finita (o numerabimente finita) significa dire che esiste una successione \((E_n)\subseteq X\) di insiemi misurabili, ognuno avente misura finita, la cui unione è tutto lo spazio, cioè una successione tale che:
i. \(X=\bigcup_{n=0}^\infty E_n\);
ii. \(\mu(E_n)<\infty\) per ogni indice \(n\).
Perciò, dire che \(\mu\) non è \(\sigma\)-finita significa che non esiste alcuna successione \((E_n)\) di misurabili che goda delle i e ii.
Nel tuo caso, dato che lo spazio di misura è "grande" (nel senso della cardinalità), non dovresti avere difficoltà a fare una piccola dimostrazione per assurdo.
Scusami se rispondo così in ritardo! 
Comunque, il mio ragionamento è il seguente:
$mu$ non è $sigma$-finita, in quanto:
supponiamo per assurdo che esista una successione $(E_n)_(n in NN)$ tale che $mu(E_n)<+infty$, $AA n in NN$. Avendo supposto l'esistenza di tale successione di insiemi, la cui cardinalità è finita, ciò implica che anche la loro unione è finita.
In tal caso l'assurdo è evidente, perché tale successione non soddisfa
i $X=uuu_{n=0}^(+infty) E_n$.
La $X=RR$, cioè un insieme infinito. Pertanto quest'ultimo non potrà mai essere unione di un numero finito di insiemi, dove la loro cardinalità è anch'essa finita.
Spero che sia il ragionamento esatto.
Per quanto riguarda la parte in cui bisogna dimostrare che $mu$ è una misura va bene come l'ho esposta su? Oppure bisogna fare qualcos'altro in più a ciò che ho scritto?
Comunque, il mio ragionamento è il seguente:
$mu$ non è $sigma$-finita, in quanto:
supponiamo per assurdo che esista una successione $(E_n)_(n in NN)$ tale che $mu(E_n)<+infty$, $AA n in NN$. Avendo supposto l'esistenza di tale successione di insiemi, la cui cardinalità è finita, ciò implica che anche la loro unione è finita.
In tal caso l'assurdo è evidente, perché tale successione non soddisfa
i $X=uuu_{n=0}^(+infty) E_n$.
La $X=RR$, cioè un insieme infinito. Pertanto quest'ultimo non potrà mai essere unione di un numero finito di insiemi, dove la loro cardinalità è anch'essa finita.
Spero che sia il ragionamento esatto.
Per quanto riguarda la parte in cui bisogna dimostrare che $mu$ è una misura va bene come l'ho esposta su? Oppure bisogna fare qualcos'altro in più a ciò che ho scritto?
In generale \(\bigcup_n E_n\) sarà (al più) numerabile; ottieni comunque l'assurdo dal momento che \(\mathbb{R}\) è più che numerabile.
Ah giusto! Non ci avevo pensato! Me ne ricorderò sicuramente! Siete stati gentilissimi ad aiutarmi nonostante la fatica che faccio. Nuovamente grazie! 
Me ne ricorderò sicuramente! Siete stati gentilissimi ad aiutarmi nonostante la fatica che faccio. Nuovamente grazie!
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