Esercizio sulla funzione integrale
Ciao a tutti ragazzi, volevo chiedervi un' informazione. Per calcolare l'integrabilità in un certo punto di una funzione integrale $\int f(t) dt$ ci sono diversi modi. Mi chiedevo se ragionando in questo modo è corretto.
Se considero ad esempio questa funzione integrale: $\int_{0}^{infty} {x*tan^(-1)x}/{root(3)(1+x^5)} dx$
$f(x) \sim \pi/{2*x^(2/3)} $ per $ x rightarrow infty $. Ho poi calcolato $\int pi/{2*x^(2/3)} dx = {3*pi*x^(1/3)} / {2} $
Ora se sostituisco $ \infty $ ad $ x $ vedo che l'integrale diverge a $ +\infty $
Ora voglio verificare l'integrabilità in 0. Ragiono come sopra
$f(x) \sim\ x^2 $ per $ x rightarrow 0 $
Poi ho calcolato $\int x^2 dx = x^3/3 $ che valutato in 0 vale 0, quindi è convergente. Diverge in + infinito e converge in 0 ? Il ragionamento che ho usato è corretto?
Grazie mille a tutti
Marco
Se considero ad esempio questa funzione integrale: $\int_{0}^{infty} {x*tan^(-1)x}/{root(3)(1+x^5)} dx$
$f(x) \sim \pi/{2*x^(2/3)} $ per $ x rightarrow infty $. Ho poi calcolato $\int pi/{2*x^(2/3)} dx = {3*pi*x^(1/3)} / {2} $
Ora se sostituisco $ \infty $ ad $ x $ vedo che l'integrale diverge a $ +\infty $
Ora voglio verificare l'integrabilità in 0. Ragiono come sopra
$f(x) \sim\ x^2 $ per $ x rightarrow 0 $
Poi ho calcolato $\int x^2 dx = x^3/3 $ che valutato in 0 vale 0, quindi è convergente. Diverge in + infinito e converge in 0 ? Il ragionamento che ho usato è corretto?
Grazie mille a tutti
Marco
Risposte
Una funzione integrale è una funzione in cui la variabile appare come estremo d'integrazione in un integrale definito.
Quello che stai facendo tu è andare a valutare l'integrabilità assoluta (o sommabilità, che dir si voglia) di una funzione intorno ad un suo punto di discontinuità oppure intorno a \(\infty\); quindi il termine funzione integrale non c'entra nulla.
In questo caso, la tua integranda è positiva e continua in \([0,+\infty[\); quindi l'unico "punto" che potrebbe darti fastidio è \(+\infty\); intorno a \(+\infty\) la tua funzione si comporta come una potenza della variabile con esponente \(>-1\), ergo tale funzione non è integrabile per confronto asintotico.
Studiare il comportamento intorno a \(0\) è inutile, perchè la tua funzione è continua in quel punto.
Quello che stai facendo tu è andare a valutare l'integrabilità assoluta (o sommabilità, che dir si voglia) di una funzione intorno ad un suo punto di discontinuità oppure intorno a \(\infty\); quindi il termine funzione integrale non c'entra nulla.
In questo caso, la tua integranda è positiva e continua in \([0,+\infty[\); quindi l'unico "punto" che potrebbe darti fastidio è \(+\infty\); intorno a \(+\infty\) la tua funzione si comporta come una potenza della variabile con esponente \(>-1\), ergo tale funzione non è integrabile per confronto asintotico.
Studiare il comportamento intorno a \(0\) è inutile, perchè la tua funzione è continua in quel punto.
"gugo82":
Una funzione integrale è una funzione in cui la variabile appare come estremo d'integrazione in un integrale definito.
Quello che stai facendo tu è andare a valutare l'integrabilità assoluta (o sommabilità, che dir si voglia) di una funzione intorno ad un suo punto di discontinuità oppure intorno a \(\infty\); quindi il termine funzione integrale non c'entra nulla.
In questo caso, la tua integranda è positiva e continua in \([0,+\infty[\); quindi l'unico "punto" che potrebbe darti fastidio è \(+\infty\); intorno a \(+\infty\) la tua funzione si comporta come una potenza della variabile con esponente \(>-1\), ergo tale funzione non è integrabile per confronto asintotico.
Studiare il comportamento intorno a \(0\) è inutile, perchè la tua funzione è continua in quel punto.
Se considero ad esempio $ F(x,y)= \int_0^{e^x+^y} {(t^2-1)^2}/{(t-2)^30} dt $ sto parlando di una funzione integrale e mi chiedo se ragionando come ho descritto sopra è corretto per valutare l'integrabilità.
Sinceramente, non capisco cosa tu mi stia chiedendo.
Ti sto chiedendo questo: Se ho una funzione integrale come quella che ti ho scritto sopra, se voglio studiarne l'integrabilità nei punti in cui è definita la f(x,y) overo la funzione integranda, cosa fai?
Vorrei sapere se farne l'asintotico nel punto considerato, calcolarne l'integrale e poi sostituirlo nel punto e verificare se è convergente o meno è una condizione necessaria o sufficiente per stabilire l'integrabilità. Io credo di si, però vorrei averne la conferma.
Vorrei sapere se farne l'asintotico nel punto considerato, calcolarne l'integrale e poi sostituirlo nel punto e verificare se è convergente o meno è una condizione necessaria o sufficiente per stabilire l'integrabilità. Io credo di si, però vorrei averne la conferma.
"Pickup":
Se considero ad esempio $ F(x,y)= \int_0^{e^{x+y}} {(t^2-1)^2}/{(t-2)^30} dt $ sto parlando di una funzione integrale e mi chiedo se ragionando come ho descritto sopra è corretto per valutare l'integrabilità.
La \(F(x,y)\) è una funzione composta da:
\[\Phi (u):=\int_0^u \frac{(t^2-1)^2}{(t-2)^{30}}\ \text{d} t \qquad \text{e} \qquad u(x,y):=e^{x+y}\; ,\]
poiché infatti è \(F(x,y)=\Phi (u(x,y))\).
Ovviamente il dominio \(D(F)\) si ottiene determinando i punti \((x,y)\in \mathbb{R}^2=D(u)\) tali che \(u(x,y)\in D(\Phi)\), ergo serve calcolare esplicitamente qual è il dominio \(D(\Phi)\).
La \(\Phi\) è la funzione integrale di punto iniziale \(0\) di \(\phi (t):=\frac{(t^2-1)^2}{(t-2)^{30}}\).
L'integrando \(\phi\) è continuo in \(\mathbb{R}\setminus \{2\}\); dato che il punto iniziale \(0\) è a sinistra del punto di discontinuità dell'integrando, la \(\Phi\) è definita almeno in tutto l'intervallo \(]-\infty ,2[\).
Intorno a \(2\) è un infinito d'ordine \(30>1\); per confronto asintotico l'integrale improprio \(\int_0^2 \phi (t)\text{d} t\) non è finito e perciò \(\Phi\) non si può prolungare su \(2\) da sinistra; conseguentemente tale funzione non si può proprio prolungare a destra di \(2\) e dunque \(D(\Phi)=]-\infty ,2[\).
A questo punto è chiaro che il dominio \(D(F)\) è costituito da tutti e soli i punti del piano le cui coordinate soddisfano la limitazione \(e^{x+y}< 2\) ossia:
\[D(F)=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\ y< -x+\ln 2\} \; .\]
Graficamente, il dominio \(D(F)\) è un semipiano aperto, precisamente quello al di sotto della retta d'equazione \(y=-x+\ln 2\).
[asvg]xmin=-4; xmax=4; ymin=-4; ymax=4;
axes("","");
fill="yellow"; path([[-6,6.693],[6,-5.307],[-6,-5.307],[-6,6.693]]);
stroke="red"; strokewidth=2; plot("-x+log(2)",-5,5);[/asvg]
Ovviamente quando \((x,y)\) tende ad avvicinarsi alla frontiera di \(D(F)\), si ha \(F(x,y)\to +\infty\) (ove il segno \(+\) è giustificato dal segno di \(\phi\)).
D'altra parte è \(u(x,y)>0\), quindi \(F(x,y)>0\) ovunque in \(D(F)\) ed, in più, la \(F\) diventa infinitesima quando \((x,y)\) si allontana dall'origine (rimanendo dentro \(D(F)\), ovviamente).
Fuori dallo studio di funzione, il criterio di confronto asintotico è una condizione sufficiente per l'assoluta integrabilità e, dunque, anche per l'integrabilità impropria semplice.
Inoltre, esistono funzioni integrabili impropriamente ma non assolutamente integrabili; quindi la condizione non è necessaria.
Però, ça va sans dire, quando l'integrando ha segno costante intorno ad un punto "problematico", l'integrabilità assoluta e l'integrabilità impropria sono al stessa cosa ed il criterio del confronto asintotico diventa una condizione necessaria e sufficiente.
P.S.: Non per scortesia, ma la grammatica qui ha esalato l'ultimo respiro...
"Pickup":
Ti sto chiedendo questo: Se ho una funzione integrale come quella che ti ho scritto sopra, se voglio studiarne l'integrabilità nei punti in cui è definita la f(x,y) overo la funzione integranda, cosa fai?
Vorrei sapere se farne l'asintotico nel punto considerato, calcolarne l'integrale e poi sostituirlo nel punto e verificare se è convergente o meno è una condizione necessaria o sufficiente per stabilire l'integrabilità. Io credo di si, però vorrei averne la conferma.
Ok, grazie mille. Sei stato chiarissimo e scusami per la grammatica ... me ne sono reso conto. L'ho scritta molto velocemente senza rileggere. Scusami 
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