Esercizio sulla funzione integrale
Salve a tutti,
sono alle prese con il seguente esercizio:
"Sia data la funzione $f:\left[0,4\right)\rightarrow \mathbb{R}$ definita da
$$f(x)=3xe^{x^2}.$$
Se ne calcoli la funzione integrale e il valore di tale funzione nel punto di ascissa uguale a 4."
Dapprima ho calcolato la funzione integrale:
$$F(x)=\int_0^x 3te^{t^2}dt=\frac{3}{2}\left(e^{x^2}-1\right).$$
A questo punto, per quanto ricordi della teoria di integrazione, la funzione integrale è definita a partire da una funzione il cui dominio è un compatto, mentre nel caso in esame abbiamo un intervallo aperto. Quindi mi chiedo se, al fine di essere formale, occorra calcolare l'integrale nella maniera seguente:
$$F(4)=\lim_{\epsilon\rightarrow 4}\int_0^{\epsilon}3te^{t^2}dt.$$
Grazie anticipatamente a chi risponderà!
sono alle prese con il seguente esercizio:
"Sia data la funzione $f:\left[0,4\right)\rightarrow \mathbb{R}$ definita da
$$f(x)=3xe^{x^2}.$$
Se ne calcoli la funzione integrale e il valore di tale funzione nel punto di ascissa uguale a 4."
Dapprima ho calcolato la funzione integrale:
$$F(x)=\int_0^x 3te^{t^2}dt=\frac{3}{2}\left(e^{x^2}-1\right).$$
A questo punto, per quanto ricordi della teoria di integrazione, la funzione integrale è definita a partire da una funzione il cui dominio è un compatto, mentre nel caso in esame abbiamo un intervallo aperto. Quindi mi chiedo se, al fine di essere formale, occorra calcolare l'integrale nella maniera seguente:
$$F(4)=\lim_{\epsilon\rightarrow 4}\int_0^{\epsilon}3te^{t^2}dt.$$
Grazie anticipatamente a chi risponderà!
Risposte
In effetti hai ragione, a rigore dovresti calcolare il limite di \(F\). Comunque, chiaramente qua è lo stesso: la funzione integrale è continua.
Grazie mille per la conferma!
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