Esercizio sulla divergenza
Ciao a tutti , ho dei problemi con questo esercizio :
calcolare il flusso di $F(x,y,z)=(z,x^2 y,y^2)$ uscente da $\Sigma = {(x,y,z)\in R^3 : 2sqrt(x^2 + y^2 )<= z <= 1+x^2 +y^2 , x^2 + y^2 <= 1}$.
Per prima cosa ho calcolato la divergenza perchè voglio applicare il teorema di Gauss :
$Div F = x^2 $.
Quindi $int_(\partial D) F n ds -> int int int _(\Sigma) x^2 dxdydz$
Devo risolvere questo integrale triplo ; la superficie di integrazione presenta un cono , un paraboloide e un cilindro e mi verrebbe da integrare per fili paralleli all'asse z con $ 2sqrt(x^2 + y^2 )<= z <= 1+x^2 +y^2$
$int int int _(\Sigma) x^2 dxdydz -> int int_T [int_ (2sqrt(x^2 + y^2 ))^(1+x^2 +y^2) x^2 dz]dxdy ->int int_T x^2(1+x^2 +y^2-2sqrt(x^2 + y^2 ))dxdy$
Devo determinare T , proiezione del dominio di integrazione sull'asse xy e quindi : $T={(x,y)\in R^2 : 2sqrt(x^2 + y^2 ) <= 1+x^2 +y^2 , x^2 + y^2 <= 1}$ .
E qui ho il problema : la seconda espressione è la classica circonferenza di raggio uno e centro l'origine , ma la prima ?? Ho provato ad elevare al quadrato (il secondo termine è un quadrato di trinominio?) ma non capisco come posso intenderla e così non posso applicare le coordinate polari come avrei voluto.
Aggiornamento : mi è venuta una mezza idea : può centrare il fatto che il secondo termine "non abbia senso" ? cioè $1+x^2 +y^2 = 0$ non è mai verificabile ... quindi in pratica io mi deba concentrare solo sulla circonferenza ?
Grazie spero nel vostro aiuto !!
calcolare il flusso di $F(x,y,z)=(z,x^2 y,y^2)$ uscente da $\Sigma = {(x,y,z)\in R^3 : 2sqrt(x^2 + y^2 )<= z <= 1+x^2 +y^2 , x^2 + y^2 <= 1}$.
Per prima cosa ho calcolato la divergenza perchè voglio applicare il teorema di Gauss :
$Div F = x^2 $.
Quindi $int_(\partial D) F n ds -> int int int _(\Sigma) x^2 dxdydz$
Devo risolvere questo integrale triplo ; la superficie di integrazione presenta un cono , un paraboloide e un cilindro e mi verrebbe da integrare per fili paralleli all'asse z con $ 2sqrt(x^2 + y^2 )<= z <= 1+x^2 +y^2$
$int int int _(\Sigma) x^2 dxdydz -> int int_T [int_ (2sqrt(x^2 + y^2 ))^(1+x^2 +y^2) x^2 dz]dxdy ->int int_T x^2(1+x^2 +y^2-2sqrt(x^2 + y^2 ))dxdy$
Devo determinare T , proiezione del dominio di integrazione sull'asse xy e quindi : $T={(x,y)\in R^2 : 2sqrt(x^2 + y^2 ) <= 1+x^2 +y^2 , x^2 + y^2 <= 1}$ .
E qui ho il problema : la seconda espressione è la classica circonferenza di raggio uno e centro l'origine , ma la prima ?? Ho provato ad elevare al quadrato (il secondo termine è un quadrato di trinominio?) ma non capisco come posso intenderla e così non posso applicare le coordinate polari come avrei voluto.
Aggiornamento : mi è venuta una mezza idea : può centrare il fatto che il secondo termine "non abbia senso" ? cioè $1+x^2 +y^2 = 0$ non è mai verificabile ... quindi in pratica io mi deba concentrare solo sulla circonferenza ?
Grazie spero nel vostro aiuto !!
Risposte
niente ? 
Conviene utilizzare le coordinate cilindriche:
$[Phi=\int_{0}^{2pi}dphi\int_{0}^{1}drho\int_{2rho}^{1+rho^2}dzrho^2cos^2phi]$
$[Phi=\int_{0}^{2pi}dphi\int_{0}^{1}drho\int_{2rho}^{1+rho^2}dzrho^2cos^2phi]$
Quindi non avrei dovuto integrare per fili , ma avrei dovuto subito utilizzare le coordinate $x=\rho cos\theta , y=\rho sen\theta , z=z$ ?
Domanda : vedendo z tra due funzioni di x,y mi sono lasciato trasportare dall'integrazione per fili ; invece , il fatto delle coordinate cilindriche , lo capisco dalla presenza di due cilindri nel dominio di $\Sigma$ ?
Domanda : vedendo z tra due funzioni di x,y mi sono lasciato trasportare dall'integrazione per fili ; invece , il fatto delle coordinate cilindriche , lo capisco dalla presenza di due cilindri nel dominio di $\Sigma$ ?
$[Sigma]$ gode di simmetria cilindrica perchè, sostituendo, non hai alcuna dipendenza da $[phi]$.
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