Esercizio sulla determinazione dell'insieme
salve, ho difficoltà a risolvere il seguente esercizio:
determinare l'insieme $ S sube RR $ così definito: $S:={x in RR : (x^2-2)^x<=x^2-2}$
stabilire se è chiuso, limitato e determinare i suoi punti di accumulazione.
ho trovato che il campo di esistenza è $x^2>2 -> x>+-sqrt2 $
ed ho provato a metterli a sistema per ottenere l'insieme, ma non so come comportarmi con l'esponenziale
$ { ( (x^2-2)^x<=x^2-2 ),( x>+-sqrt2 ):} $
grazie per qualsiasi suggerimento
determinare l'insieme $ S sube RR $ così definito: $S:={x in RR : (x^2-2)^x<=x^2-2}$
stabilire se è chiuso, limitato e determinare i suoi punti di accumulazione.
ho trovato che il campo di esistenza è $x^2>2 -> x>+-sqrt2 $
ed ho provato a metterli a sistema per ottenere l'insieme, ma non so come comportarmi con l'esponenziale
$ { ( (x^2-2)^x<=x^2-2 ),( x>+-sqrt2 ):} $
grazie per qualsiasi suggerimento
Risposte
Ma cosa vuol dire $x> +-sqrt2$?
Ciao 
puoi fare cosi
\[(x^2-2)^x=\exp(x\,\ln(x^2-2))\qquad\qquad (x^2-2)^x=\exp(\ln(x^2-2))\]
Osserva che questa cosa è "lecita" dal momento che, come hai già detto, $(x^2-2)>0$.
Ora dovrebbe essere semplice
puoi fare cosi\[(x^2-2)^x=\exp(x\,\ln(x^2-2))\qquad\qquad (x^2-2)^x=\exp(\ln(x^2-2))\]
Osserva che questa cosa è "lecita" dal momento che, come hai già detto, $(x^2-2)>0$.
Ora dovrebbe essere semplice
"Plepp":
Ciao
\[(x^2-2)^x=\exp(x\,\ln(x^2-2))\qquad\qquad (x^2-2)^x=\exp(\ln(x^2-2))\]
Osserva che questa cosa è "lecita" dal momento che, come hai già detto, $(x^2-2)>0$.
Ora dovrebbe essere semplice
Ciao,Giuseppe!
Mah..a me par che,così facendo,sei portato ad escludere il valore $x=sqrt(2)in S$!
Per non dire che ci vai "fortunato",a proseguire in tal modo,che la disequazione tramite cui si definisce S è col $<=$;
se fosse stata con > o $>=$,utilizzando il tuo ragionamento sarei stato portato ad escludere valori tipo,che sò,$x=7/5$:
ma $[(7/5)^2-2]^(7/5)>(7/5)^2-2hArrcdotshArr7>5$..
Va beh,ne riparliamo nel caso:
il thread a quel punto potrebbe farsi interessante..
Saluti dal web.
Ciao theras! 
Effettivamente hai ragione, grazie per la correzione
Anche in questo caso (con il $\leq$) sarei portato ad escludere il valore $x=1\in S$ (ad esempio)...
Come bisogna procedere in questa situazione? Ammetto che anch'io che, come ha fatto 12Aquila, avrei per prima cosa imposto la condizione di esistenza dell'esponenziale (base positiva) per poter affermare che $S\subseteq S'={x<-\sqrt{2}\vee x>\sqrt{2} }$, e restringere il "campo di ricerca" su questo insieme...
Il fatto, secondo me, è che la condizione d'esistenza dell'esponenziale è un po' "ambigua" e non ci aiuta in questo. Mi spiego con un esempio. Prendiamo la funzione
\[f(x):=x^x\]
La condizione di esistenza è (come mi hanno sempre detto
) che sia $x>0$. Però, non è mica insensato, ad esempio, calcolare $f(-2)$, o in generale, $f(z)$, con $z\in ZZ \setminus {0}$.
Quindi ti chiederei ancora: qual'è secondo te la via giusta per procedere?? Cosi, su due piedi, non mi viene in mente nulla
Effettivamente hai ragione, grazie per la correzione
Anche in questo caso (con il $\leq$) sarei portato ad escludere il valore $x=1\in S$ (ad esempio)...
Come bisogna procedere in questa situazione? Ammetto che anch'io che, come ha fatto 12Aquila, avrei per prima cosa imposto la condizione di esistenza dell'esponenziale (base positiva) per poter affermare che $S\subseteq S'={x<-\sqrt{2}\vee x>\sqrt{2} }$, e restringere il "campo di ricerca" su questo insieme...
Il fatto, secondo me, è che la condizione d'esistenza dell'esponenziale è un po' "ambigua" e non ci aiuta in questo. Mi spiego con un esempio. Prendiamo la funzione
\[f(x):=x^x\]
La condizione di esistenza è (come mi hanno sempre detto
) che sia $x>0$. Però, non è mica insensato, ad esempio, calcolare $f(-2)$, o in generale, $f(z)$, con $z\in ZZ \setminus {0}$.Quindi ti chiederei ancora: qual'è secondo te la via giusta per procedere?? Cosi, su due piedi, non mi viene in mente nulla
Addirittura ti dico che $f(-m/n)inRR$ $AAm,n in NN$ t.c. M.C.D(m,n)=1 e n=2h-1 per qualche $h in NN$,
e non si può affermare certo il contrario anche se altre questioni rendono didatticamente più opportuno "restringere" al solo $RR^+ $ il dominio massimo che salterebbe fuori da quest'osservazione:
la mia idea in merito è che questa scelta didattica sia storicamente così radicata da esser passata per verità inoppougnabile,
perchè a suo tempo s'è preferito evitare,in quanto delicato sebbene non contraddittorio,
di far accettare come l'esponenziale $a^x$ richieda che la base a sia positiva
(al fine poter far variare l'esponente in TUTTO $RR$ per poi introdurre il logaritmo come sua inversa),
per poi sostenere che,nella teoria delle funzioni reali di variabile reale,
può lecitamente definirsi una funzione esponenziale a base non costante considerando quest'ultima non positiva sotto opportune condizioni..
Saluti dal web.
e non si può affermare certo il contrario anche se altre questioni rendono didatticamente più opportuno "restringere" al solo $RR^+ $ il dominio massimo che salterebbe fuori da quest'osservazione:
la mia idea in merito è che questa scelta didattica sia storicamente così radicata da esser passata per verità inoppougnabile,
perchè a suo tempo s'è preferito evitare,in quanto delicato sebbene non contraddittorio,
di far accettare come l'esponenziale $a^x$ richieda che la base a sia positiva
(al fine poter far variare l'esponente in TUTTO $RR$ per poi introdurre il logaritmo come sua inversa),
per poi sostenere che,nella teoria delle funzioni reali di variabile reale,
può lecitamente definirsi una funzione esponenziale a base non costante considerando quest'ultima non positiva sotto opportune condizioni..
Saluti dal web.
Oh no! Non di nuovo la storia del dominio degli esponenziali! 
Ne abbiamo parlato moltissime volte, usando la funzione CERCA salteranno fuori una quantità di discussioni su questo argomento. Di solito la convenzione è che la base di una funzione esponenziale deve essere strettamente positiva, scelta che si capisce bene nell'ambito della teoria di variabile complessa. In questo caso ad esempio l'insieme \(S\) è tale che
\[S \subset \{x \in \mathbb{R}\mid x^2 > 2\}.\]
@12Aquila: \(x> \pm \sqrt{2}\)?!? Risolvi per bene quella disequazione e non fare errori così. Fatti un disegnino che è sempre la scelta migliore.
Ne abbiamo parlato moltissime volte, usando la funzione CERCA salteranno fuori una quantità di discussioni su questo argomento. Di solito la convenzione è che la base di una funzione esponenziale deve essere strettamente positiva, scelta che si capisce bene nell'ambito della teoria di variabile complessa. In questo caso ad esempio l'insieme \(S\) è tale che
\[S \subset \{x \in \mathbb{R}\mid x^2 > 2\}.\]
@12Aquila: \(x> \pm \sqrt{2}\)?!? Risolvi per bene quella disequazione e non fare errori così. Fatti un disegnino che è sempre la scelta migliore.
Grazie a Tutti per aver partecipato
si, scusate
ho riscritto il post e non ci ho fatto caso, intendevo $x<-sqrt2 vv x>sqrt2$
non ho capito ancora come procedere. Cercando di seguire un esercizio più semplice, ho messo a sistema:
ma non so risolverlo per via dell'esponenziale
ho provato il suggerimento di Plepp e con la trasformazione $e^x$ ottengo:
$ { ( e^(xln(x^2-2))<=e^ln(x^2-2) ),( x<-sqrt2 vv x>sqrt2 ):} $
ma non vedo come continuare.
suggerimenti?
Grazie a tutti.
ps: scusate i cut ma non era il caso di fare un post chilometrico.
pps: il multi-quote nel forum sarebbe comodo
"Gi8":
Ma cosa vuol dire $x> +-sqrt2$?
"dissonance":
@12Aquila: \(x> \pm \sqrt{2}\)?!? Risolvi per bene quella disequazione e non fare errori così. Fatti un disegnino che è sempre la scelta migliore.
si, scusate
ho riscritto il post e non ci ho fatto caso, intendevo $x<-sqrt2 vv x>sqrt2$"Plepp":
Ciao
...
"theras":
Mah..a me par che,così facendo,sei portato ad escludere il valore $x=sqrt(2)in S$!
...
"Plepp":
Effettivamente hai ragione, grazie per la correzione
...
Come bisogna procedere in questa situazione? Ammetto che anch'io che, come ha fatto 12Aquila, avrei per prima cosa imposto la condizione di esistenza dell'esponenziale (base positiva) per poter ... restringere il "campo di ricerca" su questo insieme
...
Quindi ti chiederei ancora: qual'è secondo te la via giusta per procedere?? Cosi, su due piedi, non mi viene in mente nulla
"theras":
Addirittura ti dico che $f(-m/n)inRR$ $AAm,n in NN$ t.c. M.C.D(m,n)=1 e n=2h-1 per qualche $h in NN$,
e non si può affermare certo il contrario anche se ...
non ho capito ancora come procedere. Cercando di seguire un esercizio più semplice, ho messo a sistema:
"12Aquila":
$ { ( (x^2-2)^x<=x^2-2 ),( x<-sqrt2 vv x>sqrt2 ):} $
ma non so risolverlo per via dell'esponenziale
ho provato il suggerimento di Plepp e con la trasformazione $e^x$ ottengo:
$ { ( e^(xln(x^2-2))<=e^ln(x^2-2) ),( x<-sqrt2 vv x>sqrt2 ):} $
ma non vedo come continuare.
suggerimenti?
Grazie a tutti.
ps: scusate i cut ma non era il caso di fare un post chilometrico.
pps: il multi-quote nel forum sarebbe comodo
La prima disequazione del sistema che hai scritto diventa $xln(x^2-2)<=ln(x^2-2)$, cioè $(x-1)*ln(x^2-2)<=0$
"Gi8":
La prima disequazione del sistema che hai scritto diventa $xln(x^2-2)<=ln(x^2-2)$, cioè $(x-1)*ln(x^2-2)<=0$
grazie, si è vero.
per determinare l'insieme potrei seguire questo ragionamento:
$ { ( x<-sqrt2 vv x>sqrt2 ),( x < 1 ),( x<-sqrt2 vv x>sqrt2 ):} $
la prima è il dominio del logaritmo, la seconda serve per far si che sia $<=0$
quindi l'insieme è $S={x in RR - {1} : x<1}$?
No, hai sbagliato a risolvere $(x-1)*ln(x^2-2)<=0$
Analizziamo separatamente i due fattori:
- $x-1>=0 <=> x>=1$
- $ln(x^2-2)>=0 <=> x^2-2>=1<=> x^2>=3 ...$
Analizziamo separatamente i due fattori:
- $x-1>=0 <=> x>=1$
- $ln(x^2-2)>=0 <=> x^2-2>=1<=> x^2>=3 ...$
"Gi8":
No, hai sbagliato a risolvere $(x-1)*ln(x^2-2)<=0$
Analizziamo separatamente i due fattori:
- $x-1>=0 <=> x>=1$
- $ln(x^2-2)>=0 <=> x^2-2>=1<=> x^2>=3 ...$
grazie mille per l'aiuto, pensavo di dover trovare la condizione per essere $<=0$.
edit (insieme errato)
"theras":
la mia idea in merito è che questa scelta didattica sia storicamente così radicata da esser passata per verità inoppougnabile,
perchè a suo tempo s'è preferito evitare,in quanto delicato sebbene non contraddittorio,
di far accettare come l'esponenziale $a^x$ richieda che la base a sia positiva
(al fine poter far variare l'esponente in TUTTO $RR$ per poi introdurre il logaritmo come sua inversa),
per poi sostenere che,nella teoria delle funzioni reali di variabile reale,
può lecitamente definirsi una funzione esponenziale a base non costante considerando quest'ultima non positiva sotto opportune condizioni..
Saluti dal web.
Interessante, grazie theras
Solo un dettaglio non mi è molto chiaro: quando dici che $n=2h-1$ per qualche $h$ naturale, stai semplicemente dicendo che $n$ è dispari (e in tal caso consideri $0 \notin NN$), come necessariamente dev'essere, giusto?
@12Aquila: ma sai risolvere le disequazioni del tipo $f_1(x)*f_2(x)<=0$?
Devi trovare quando $f_1(x)>=0$, quando $f_2(x)>=0$, poi fare la "tabellina con i $+$ e i $-$" .
Devi trovare quando $f_1(x)>=0$, quando $f_2(x)>=0$, poi fare la "tabellina con i $+$ e i $-$" .
"Gi8":
@12Aquila: ma sai risolvere le disequazioni del tipo $f_1(x)*f_2(x)<=0$?
Devi trovare quando $f_1(x)>=0$, quando $f_2(x)>=0$, poi fare la "tabellina con i $+$ e i $-$" .
ok, ho fatto il grafico dei segni con le tre condizioni del sistema, che sono i seguenti:
edit
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