Esercizio sulla derivabilità del valore assoluto

[Dorian1]

Propongo un altro esercizio emerso dai miei appunti di Analisi 1...

Sia $f$:$X sub RR->RR$ una funzione derivabile in $x_0 in X$ tale che $f(x_0)=0$: dare una condizione necessaria e sufficiente affinchè $|f|$ sia derivabile in $x_0$.

[alberto861]

$|f|f' =o(f)$ in $x_0$

[adaBTTLS1]

non sono sicura che f debba essere necessariamente derivabile perché lo sia |f|....
ma penso si possa dimostrare che se f è derivabile allora una condizione necessaria e sufficiente... è

$f'(x_0)=0$.

ciao.

[adaBTTLS1]

vorrei aggiungere una precisazione riguardo il mio messaggio precedente.
è certo che la derivabilità di |f| non implica la derivabilità di f, anche perché si possono fare esempi particolari come $f(x)=sign(x)$ in $x=0$, o una variante della funzione di Dirichlet:
$g(x)={[1" if "x in QQ], [-1 " if " x in RR-QQ] :}$ in ogni punto.
le due funzioni |f| e |g| però sono entrambe costanti...
ciao.

[Dorian1]

"adaBTTLS":non sono sicura che f debba essere necessariamente derivabile perché lo sia |f|....
ma penso si possa dimostrare che se f è derivabile allora una condizione necessaria e sufficiente... è

$f'(x_0)=0$.

ciao.

Esatto... Dimostrare questa affermazione!

[adaBTTLS1]

(1) $f'(x_0)=0$
(2) $|f| " derivabile in " x_0$


(1)->(2)
$lim_(h->0)\(f(x_0+h)-f(x_0))/h=0$ sia da destra che da sinistra, quindi anche $lim_(h->0)\|f(x_0+h)-f(x_0)|/h=0$
$||f(x_0+h)|-|f(x_0)|| <= |f(x_0+h)-f(x_0)|$
dunque anche le due derivate destra e sinistra di |f| sono uguali a zero.

(2)->(1)
per assurdo, dimostro che se (1) è falsa allora (2) è falsa.
$f'(x_0) = k != 0$ vuol dire che i due limiti dei rapporti incrementali sono entrambi uguali a k diverso da zero.
si possono distinguere due casi (f crescente, k>0, oppure f decrescente, k<0) ma il ragionamento è analogo...
si otterrà $D[|f(x)|] = -f'(x)$ nell'intorno sinistro di $x_0$, $D[|f(x)|] = f'(x)$ nell'intorno destro di $x_0$,
quindi la derivata sinistra è -k, la derivata destra è +k.

ho cercato di essere concisa, spero di essere stata chiara. fammi sapere se riesci a "ricomporre il puzzle". ciao.

[Dorian1]

"adaBTTLS":(1) $f'(x_0)=0$
(2) $|f| " derivabile in " x_0$


(1)->(2)
$lim_(h->0)\(f(x_0+h)-f(x_0))/h=0$ sia da destra che da sinistra, quindi anche $lim_(h->0)\|f(x_0+h)-f(x_0)|/h=0$
$||f(x_0+h)|-|f(x_0)|| <= |f(x_0+h)-f(x_0)|$
dunque anche le due derivate destra e sinistra di |f| sono uguali a zero.

(2)->(1)
per assurdo, dimostro che se (1) è falsa allora (2) è falsa.
$f'(x_0) = k != 0$ vuol dire che i due limiti dei rapporti incrementali sono entrambi uguali a k diverso da zero.
si possono distinguere due casi (f crescente, k>0, oppure f decrescente, k<0) ma il ragionamento è analogo...
si otterrà $D[|f(x)|] = -f'(x)$ nell'intorno sinistro di $x_0$, $D[|f(x)|] = f'(x)$ nell'intorno destro di $x_0$,
quindi la derivata sinistra è -k, la derivata destra è +k.

ho cercato di essere concisa, spero di essere stata chiara. fammi sapere se riesci a "ricomporre il puzzle". ciao.

Chiarissima!
La tua dimostrazione è più elegante di quella elaborata da me... Io non facevo, ad esempio, uso della disuguaglianza triangolare...