Esercizio sulla derivabilità con Rolle
Vi sottopongo questo esercizio che pare essere molto semplice a cui però non riesco a trovare conclusione. La traccia dice:
"Sia \(f:[-1,1]\to\mathbb R\) una funzione derivabile due volte (ovunque) tale che \(f(-1)=0=f(1)\) ed \(\exists C\geq 0 \ \ \forall x\in [-1,1]: |f''(x)|\leq C\). Provare che \(\forall x\in [-1,1]: |f(x)|\leq \frac C2\)."
La mia infruttuosa idea vuole sfruttare lo sviluppo di Taylor con resto di Lagrange, snellendolo del termine di primo ordine col teorema di Rolle. Meglio: \(f\) verifica le ipotesi di Rolle quindi \(\exists x_0\in (-1,1): f'(x_0)=0\) e, centrando in \(x_0\) lo sviluppo di Taylor, risulta che \[\forall x\in[-1,1]: f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(\xi)}{2}(x-x_0)^2=f(x_0)+\frac{f''(\xi)}{2}(x-x_0)^2\] per quale \(\xi\) tra \(x\) e \(x_0\). Adesso, per la disuguaglianza triangolare, si ha che \[|f(x)|\leq |f(x_0)|+\frac C2 (x-x_0)^2\] che però non riesco a stimare in nessun modo né tantomeno credo che vada bene come stima in sé essendo certamente maggiore del risultato atteso (ad esempio, non trovo stima migliore di \(|x-x_0|\leq 2\) quindi sarei ancora più lontano dalla tesi...). Grazie a chiunque riesca ad illuminarmi
"Sia \(f:[-1,1]\to\mathbb R\) una funzione derivabile due volte (ovunque) tale che \(f(-1)=0=f(1)\) ed \(\exists C\geq 0 \ \ \forall x\in [-1,1]: |f''(x)|\leq C\). Provare che \(\forall x\in [-1,1]: |f(x)|\leq \frac C2\)."
La mia infruttuosa idea vuole sfruttare lo sviluppo di Taylor con resto di Lagrange, snellendolo del termine di primo ordine col teorema di Rolle. Meglio: \(f\) verifica le ipotesi di Rolle quindi \(\exists x_0\in (-1,1): f'(x_0)=0\) e, centrando in \(x_0\) lo sviluppo di Taylor, risulta che \[\forall x\in[-1,1]: f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(\xi)}{2}(x-x_0)^2=f(x_0)+\frac{f''(\xi)}{2}(x-x_0)^2\] per quale \(\xi\) tra \(x\) e \(x_0\). Adesso, per la disuguaglianza triangolare, si ha che \[|f(x)|\leq |f(x_0)|+\frac C2 (x-x_0)^2\] che però non riesco a stimare in nessun modo né tantomeno credo che vada bene come stima in sé essendo certamente maggiore del risultato atteso (ad esempio, non trovo stima migliore di \(|x-x_0|\leq 2\) quindi sarei ancora più lontano dalla tesi...). Grazie a chiunque riesca ad illuminarmi
Risposte
Ma sei sicuro che bisogna usare il teorema di Rolle in questo esercizio?
Comunque io non so esattamente come si risolve però la prima cosa che mi viene in mente è quella di dimostrare che $|f'(x)-f'(y)|<=C|x-y|AAx,y\in[-1,1]$. Poi forse bisogna integrare $f'$ a partire da un suo zero, ma non so.
Comunque io non so esattamente come si risolve però la prima cosa che mi viene in mente è quella di dimostrare che $|f'(x)-f'(y)|<=C|x-y|AAx,y\in[-1,1]$. Poi forse bisogna integrare $f'$ a partire da un suo zero, ma non so.
Non ho certezza che vada utilizzato Rolle, ma mi sembrava una buona idea... Ad ogni modo, non abbiamo ancora studiato l'integrale di Riemann quindi presumo si possa risolvere senza ricorrere a strumenti più in là delle derivate.
Si, in effetti può essere nua buona idea, comunque la disuguaglianza dovresti poterla dimostrare anche senza integrali, anche se potresti anche averla già vista.
La disuguaglianza che mi hai indicato non è altro che la lipschitzianità di \(f'\), se non vado errato. Effettivamente, dalla limitatezza di \(f''\) si deduce proprio quanto hai scritto: smanettandoci un poco, ho visto che dalla tua disuguaglianza e dalle mie osservazioni con Rolle, risulta che \[\forall x\in [-1,1]: |f'(x)|=|f'(x)-f'(x_0)|\leq C|x-x_0|\leq 2C\] e per le stesse ragioni di prima risulta lipschitziana anche \(f\). Il problema però non faccio altro che posporlo, perché le stime che riesco a fare su \(|f(x)|\) (sfruttando tra le varie cose il fatto che \(f(-1)=0=f(1)\)) raddoppiano ogni volta... Sarà che mi sono impantanato ma non riesco a vedere oltre queste informazioni 
Si in effetti si finisce a concludere solo che $|f(x)|<=2C$, non so come si possa migliorare.
Anch'io non vado meglio di quella soglia... Personalmente, l'ho ricavato ancora dalla lipschitzianità di \(f\): infatti risulta che \(\forall x\in [-1,1]: \)\[|f(x)|=|f(x)-f(1)|\leq 2C|x-1| \\ \ |f(x)|=|f(x)-f(-1)|\leq 2C|x+1|\] e sommando membro a membro \[2|f(x)|\leq 2C(|x-1|+|x+1|)=4C \\ |f(x)|\leq 2C\] In tal modo, non verrebbe più sfruttato il polinomio di Taylor e magari la soluzione sta lì... Tu hai proceduto in questo stesso modo o diversamente?
Sostanzialmente in questo modo.
Sia $x_0$ il punto di massimo della funzione $f$.
Per Taylor si ha:
\[
f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{1}{2}f''(c)(x-x_0)^2
\]
Calcolando in $-1$ e in $1$ e "sommando" le due equazioni si ottiene:
\[
0 = 2f(x_0) + \frac{1}{2}[f''(c_1)(1-x_0)^2+f''(c_2)(-1-x_0)^2]
\]
Da cui si ha
\[
|f(x_0)| = \frac{1}{4}\left|f''(c_1)(1-x_0)^2+f''(c_2)(-1-x_0)^2\right|\le \frac{C}{4}[(1-x_0)^2 + (-1-x_0)^2] = \frac{C}{2}[x_0^2 +1] \le C
\]
Per Taylor si ha:
\[
f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{1}{2}f''(c)(x-x_0)^2
\]
Calcolando in $-1$ e in $1$ e "sommando" le due equazioni si ottiene:
\[
0 = 2f(x_0) + \frac{1}{2}[f''(c_1)(1-x_0)^2+f''(c_2)(-1-x_0)^2]
\]
Da cui si ha
\[
|f(x_0)| = \frac{1}{4}\left|f''(c_1)(1-x_0)^2+f''(c_2)(-1-x_0)^2\right|\le \frac{C}{4}[(1-x_0)^2 + (-1-x_0)^2] = \frac{C}{2}[x_0^2 +1] \le C
\]
Buono approccio, ma ti sei perso un fattore $2$ nel penultimo passaggio, quindi viene $|f(x_0)|<=C$. Inoltre il risultato va dimostrato per tutti i punti, non solo per $x_0$.
Per quanto riguarda il fattore... hai ragione. Modifico.
Invece il risultato vale per tutti i punti valendo per i punti estremali.
Invece il risultato vale per tutti i punti valendo per i punti estremali.
"Wilde":
Invece il risultato vale per tutti i punti valendo per i punti estremali.
Cosa intendi con questo?
Butto giù qualcosa... ma ho bisogno del vostro aiuto perchè ho paura ci sia qualche falla.
Dato che non penso sia questo il problema, partiamo per il momento con una funzione positiva, quindi ipotesi di partenza:
\[
f(x) \ge 0 \ \ \forall x \in [-1,1], \qquad f(1)=f(-1)=0, \qquad |f''(x)| \le C .
\]
Denotiamo con $x_0$ il punto di massimo della funzione $f$ , quindi $f(x)\le f(x_0) \quad \forall\ x$ (Qui rispondo a otta96 penso). Senza perdere di generalità supponiamo anche che $x_0\ge0$ e denotiamo con $d=1-x_0$
A questo punto costruisco una nuova funzione $g(x)$ definita sull'intervallo $[x0-d, x_0+d]$ come:
\[
g(x) : = f(x) \ \ \text{per} \ \ x\in[x_0, x_0+d] \qquad g(x)= f(-x+2x_0) \ \ \text{per} \ \ x\in[x_0-d, x_0]
\]
Semplicemente ho ribaltato la funzione $f$ dell'intervallo $[x_0,1]$ a sinistra rispetto la retta di simmetria $x=x_0$ (Spero di essermi spiegato).
Ora semplicemente traslo $g$ a sinistra di una distanza $x_0$, cioè definisco una nuova funzione $h(x) = g(x+x_0)$.
Quindi abbiamo che $h$ è una funzione definita su $[-d,d]$ ( e $d<1$)con
\[
h(d)=h(-d) =0, \qquad |h''(x)|\le C, \qquad h(x)\le h(0)
\]
Inoltre $h(0) = f(x_0)$ quindi mi basterà per concludere dimostrare che $h(0)\le\frac{C}{2}$.
Ora se si procede come nel mio post precedente si conclude che $|h(0)|\le\frac{C}{2}$
Dato che non penso sia questo il problema, partiamo per il momento con una funzione positiva, quindi ipotesi di partenza:
\[
f(x) \ge 0 \ \ \forall x \in [-1,1], \qquad f(1)=f(-1)=0, \qquad |f''(x)| \le C .
\]
Denotiamo con $x_0$ il punto di massimo della funzione $f$ , quindi $f(x)\le f(x_0) \quad \forall\ x$ (Qui rispondo a otta96 penso). Senza perdere di generalità supponiamo anche che $x_0\ge0$ e denotiamo con $d=1-x_0$
A questo punto costruisco una nuova funzione $g(x)$ definita sull'intervallo $[x0-d, x_0+d]$ come:
\[
g(x) : = f(x) \ \ \text{per} \ \ x\in[x_0, x_0+d] \qquad g(x)= f(-x+2x_0) \ \ \text{per} \ \ x\in[x_0-d, x_0]
\]
Semplicemente ho ribaltato la funzione $f$ dell'intervallo $[x_0,1]$ a sinistra rispetto la retta di simmetria $x=x_0$ (Spero di essermi spiegato).
Ora semplicemente traslo $g$ a sinistra di una distanza $x_0$, cioè definisco una nuova funzione $h(x) = g(x+x_0)$.
Quindi abbiamo che $h$ è una funzione definita su $[-d,d]$ ( e $d<1$)con
\[
h(d)=h(-d) =0, \qquad |h''(x)|\le C, \qquad h(x)\le h(0)
\]
Inoltre $h(0) = f(x_0)$ quindi mi basterà per concludere dimostrare che $h(0)\le\frac{C}{2}$.
Ora se si procede come nel mio post precedente si conclude che $|h(0)|\le\frac{C}{2}$
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