Esercizio sulla derivabilità ?
Se $ g(t) = f(t^3, t) $, $ t∈C^2(R^2)$ è una funzione che ha un punto di minimo in $ (1,1) $ e la cui matrice Hessiana in $ (1,1) $ è
$ Hf(1,1) $ =
{ 2 -1}
{-1 3},
allora g è derivabile due volte in 1 e ....
Io ho cominciato a risolverlo in questo modo :
$ g'(t) = ∇f(t^3, t) * (3t^2, 1) $
Ora come faccio a passare a g''(t) ?
N.B:
{ 2 -1}
{-1 3}
è una matrice 2*2 dove { 2 -1} è la prima riga, mentre {-1 3} è la seconda riga.
$ Hf(1,1) $ =
{ 2 -1}
{-1 3},
allora g è derivabile due volte in 1 e ....
Io ho cominciato a risolverlo in questo modo :
$ g'(t) = ∇f(t^3, t) * (3t^2, 1) $
Ora come faccio a passare a g''(t) ?
N.B:
{ 2 -1}
{-1 3}
è una matrice 2*2 dove { 2 -1} è la prima riga, mentre {-1 3} è la seconda riga.
Risposte
Posso darti un consiglio?
Se non fai i passaggi, interamente, almeno una volta in vita tua, allora non capirai mai cosa stai facendo.
Le notazioni sintetiche sono utili ma non ti permettono di vedere cosa stai facendo...e infatti ti blocchi subito.
Io inizierei in modo pulito scrivendo $x(t)=t^3$ e $y(t)=t$, $g(t)=f[x(t),y(t)]$
Poi deriverei $x^{\prime}(t)=?$ $x^('')(t)=?$ $y^{\prime}(t)=?$ $y^('')(t)=?$
Compilerei i seguenti campi $f_x(1,1)=f_y(1,1)=?$ $f_(x.x)(1,1)=?$ $f_(xy)(1,1)=f_(yx)(1,1)=?$ e infine $f_(yy)(1,1)=?$
Poi inizierei a scrivere $(d[g(t)])/dt=(d[f(x,y)])/dt=?=g^{\prime}(t)$
A cui seguirebbe $(d[g^{\prime}(t)])/dt=d/dt{([f(x,y)])/dt}=(d^2[f(x,y)])/(dt^2)=?=g^('')(t)$
E solo alla fine andrei a sostituire in (1,1)
Se non fai i passaggi, interamente, almeno una volta in vita tua, allora non capirai mai cosa stai facendo.
Le notazioni sintetiche sono utili ma non ti permettono di vedere cosa stai facendo...e infatti ti blocchi subito.
Io inizierei in modo pulito scrivendo $x(t)=t^3$ e $y(t)=t$, $g(t)=f[x(t),y(t)]$
Poi deriverei $x^{\prime}(t)=?$ $x^('')(t)=?$ $y^{\prime}(t)=?$ $y^('')(t)=?$
Compilerei i seguenti campi $f_x(1,1)=f_y(1,1)=?$ $f_(x.x)(1,1)=?$ $f_(xy)(1,1)=f_(yx)(1,1)=?$ e infine $f_(yy)(1,1)=?$
Poi inizierei a scrivere $(d[g(t)])/dt=(d[f(x,y)])/dt=?=g^{\prime}(t)$
A cui seguirebbe $(d[g^{\prime}(t)])/dt=d/dt{([f(x,y)])/dt}=(d^2[f(x,y)])/(dt^2)=?=g^('')(t)$
E solo alla fine andrei a sostituire in (1,1)
@Bokonon
[ot]Ehi, ma non sei tu che hai scritto …
[/ot]
Cordialmente, Alex
[ot]Ehi, ma non sei tu che hai scritto …
"Bokonon":
La parte "ragioneristica" è totalmente superflua in un esercizio.
[/ot]Cordialmente, Alex
[ot]
[/quote]
I conti Alex, i conti...non l'impostazione
Non è una proposizione di Wittgenstein![/ot]
"axpgn":
@Bokonon
Ehi, ma non sei tu che hai scritto …
[quote="Bokonon"]La parte "ragioneristica" è totalmente superflua in un esercizio.
[/quote]
I conti Alex, i conti...non l'impostazione
Non è una proposizione di Wittgenstein![/ot]
Ok con le derivate
$ x'(t) = 3t^2 $
$ x''(t)=6t $
$ y'(t)=1 $
$ y''(t)=0 $
Poi non mi è chiaro dove devo utilizzare i campi calcolati
I campi
fxx(1,1) = 2
$ fxy(1,1)=fyx(1,1)= -1 $
$ fyy(1,1)= 3 $
$ x'(t) = 3t^2 $
$ x''(t)=6t $
$ y'(t)=1 $
$ y''(t)=0 $
Poi non mi è chiaro dove devo utilizzare i campi calcolati
I campi
fxx(1,1) = 2
$ fxy(1,1)=fyx(1,1)= -1 $
$ fyy(1,1)= 3 $
E' quello lo sforzo che devi fare negli altri due passaggi (quelli più importanti)...poi avrai le formule su cui sostituire i valori.
Due cose essenziali.
Non hai scritto tutti i campi.
E nei prossimi post sarà fondamentale che tu utilizzi l'editor al meglio.
Tutti noi ci sforziamo di usarlo per essere facilmente comprensibili.
Due cose essenziali.
Non hai scritto tutti i campi.
E nei prossimi post sarà fondamentale che tu utilizzi l'editor al meglio.
Tutti noi ci sforziamo di usarlo per essere facilmente comprensibili.
Si mi manca $ fx(1,1)=fy(1,1) $.
Ma non riesco ad andare avanti.
Forse un pò come hai detto te all'inizio, riuscirò a capirlo solo vedendo passo passo i passaggi, anche perchè si tratta di un esercizio un pò particolare, poichè in altri casi mi è stato sempre e solo chiesto di calcolare i massimi e minimi della funzione attraverso l'Hessiano.
Ma non riesco ad andare avanti.
Forse un pò come hai detto te all'inizio, riuscirò a capirlo solo vedendo passo passo i passaggi, anche perchè si tratta di un esercizio un pò particolare, poichè in altri casi mi è stato sempre e solo chiesto di calcolare i massimi e minimi della funzione attraverso l'Hessiano.
Proviamo a fare assieme il primo pezzo $(d[g(t)])/dt=(d[f(x,y)])/dt=?=g^{\prime}(t)$ (che è quello facile e che mi aspettavo scrivessi )
Farò più passaggi del dovuto:
$(d[g(t)])/dt=(d[f(x,y)])/dt=(1/dt)(f_xdx+f_ydy)=f_x(dx/dt)+f_y(dy/dt)=f_x x^{\prime}(t)+f_yy^{\prime}(t)=g^{\prime}(t)$
Quindi $g^{\prime}(t)=(d[f(x,y)])/dt=f_x x^{\prime}(t)+f_yy^{\prime}(t)$
Ora tocca a:
$(d[g^{\prime}(t)])/dt=d/dt{(d[f(x,y)])/dt}=(1/dt)[?]=g^('')(t)$
Il differenziale è un'operatore lineare quindi puoi applicarlo ai due pezzi separatamente...tenendo a mente che dovrai usare la regola del prodotto, quindi $d[f_x x^{\prime}(t)]=d(f_x)x^{\prime}(t)+(f_x)d[x^{\prime}(t)]$ e dopo averlo sviluppato dividi tutto per dt.
Stessa cosa per $d[f_y y^{\prime}(t)]$.
Alla fine sistemi un po' il tutto e ti verrà fuori $g^('')(t)$
Perchè sei così parco nello scrivere? Paghi internet per lettere che scrivi?
$ f_x(1,1)=f_y(1,1)=0 $
)Farò più passaggi del dovuto:
$(d[g(t)])/dt=(d[f(x,y)])/dt=(1/dt)(f_xdx+f_ydy)=f_x(dx/dt)+f_y(dy/dt)=f_x x^{\prime}(t)+f_yy^{\prime}(t)=g^{\prime}(t)$
Quindi $g^{\prime}(t)=(d[f(x,y)])/dt=f_x x^{\prime}(t)+f_yy^{\prime}(t)$
Ora tocca a:
$(d[g^{\prime}(t)])/dt=d/dt{(d[f(x,y)])/dt}=(1/dt)[?]=g^('')(t)$
Il differenziale è un'operatore lineare quindi puoi applicarlo ai due pezzi separatamente...tenendo a mente che dovrai usare la regola del prodotto, quindi $d[f_x x^{\prime}(t)]=d(f_x)x^{\prime}(t)+(f_x)d[x^{\prime}(t)]$ e dopo averlo sviluppato dividi tutto per dt.
Stessa cosa per $d[f_y y^{\prime}(t)]$.
Alla fine sistemi un po' il tutto e ti verrà fuori $g^('')(t)$
"simonerusso64":
Si mi manca $ fx(1,1)=fy(1,1) $.
Perchè sei così parco nello scrivere? Paghi internet per lettere che scrivi?
$ f_x(1,1)=f_y(1,1)=0 $
Credo di aver capito come arrivare a $ g'' $
L'unica cosa che ancora non mi è chiara è perché $ f_x(1,1)=f_y(1,1)=0 $
L'unica cosa che ancora non mi è chiara è perché $ f_x(1,1)=f_y(1,1)=0 $
"simonerusso64":
Credo di aver capito come arrivare a $ g'' $
L'unica cosa che ancora non mi è chiara è perché $ f_x(1,1)=f_y(1,1)=0 $
Te l'ha detto l'esercizio che in (1,1) la funzione ha un minimo
$ f_x x'(t) = f'_x x'(t) +f_x x''(t) $
$ f_y y'(t) = f'_y y'(t) +f_y y''(t) $
Li sommo e ho $ f'_x x'(t) +f_x x''(t) + f'_y y'(t) +f_y y''(t) $
Poi ?
$ f_y y'(t) = f'_y y'(t) +f_y y''(t) $
Li sommo e ho $ f'_x x'(t) +f_x x''(t) + f'_y y'(t) +f_y y''(t) $
Poi ?
$d[f_x x^{\prime}(t)]=d(f_x)x^{\prime}(t)+(f_x)d[x^{\prime}(t)]$
$d(f_x)=$ il differenziale di una funzione in x e y. Quindi è la somma della derivata parziale in x di quella funzione per dx +....
$d(f_x)=$ il differenziale di una funzione in x e y. Quindi è la somma della derivata parziale in x di quella funzione per dx +....
Non riesco ad arrivare alla formula finale, poichè solitamente io sostituisco i valori direttamente nella formula. Ora siccome qui si deve ricavare, trovo difficoltà.
$(1/dt)d[f_x x^{\prime}(t)]=(f_(x.x)(dx/dt)+f_(yx)(dy/dt))x^{\prime}(t)+(f_x)(d[x^{\prime}(t)])/dt=[f_(x.x)x^{\prime}(t)+f_(yx)y^{\prime}(t)]x^{\prime}(t)+(f_x)x^('')(t)=f_(x.x)[x^{\prime}(t)]^2+f_(yx)x^{\prime}(t)y^{\prime}(t)+(f_x)x^('')(t)$
Anologo per:
$(1/dt)d[f_y y^{\prime}(t)]=f_(yy)[y^{\prime}(t)]^2+f_(xy)x^{\prime}(t)y^{\prime}(t)+(f_y)y^('')(t)$
Quindi $g^('')(t)=f_(x.x)[x^{\prime}(t)]^2+f_(yy)[y^{\prime}(t)]^2+2f_(xy)x^{\prime}(t)y^{\prime}(t)+(f_x)x^('')(t)+(f_y)y^('')(t)$
Fossi in te ritornei a guardarmi i fondamentali e non mi sposterei da la finchè non sapessi differenziare in scioltezza.
Anologo per:
$(1/dt)d[f_y y^{\prime}(t)]=f_(yy)[y^{\prime}(t)]^2+f_(xy)x^{\prime}(t)y^{\prime}(t)+(f_y)y^('')(t)$
Quindi $g^('')(t)=f_(x.x)[x^{\prime}(t)]^2+f_(yy)[y^{\prime}(t)]^2+2f_(xy)x^{\prime}(t)y^{\prime}(t)+(f_x)x^('')(t)+(f_y)y^('')(t)$
Fossi in te ritornei a guardarmi i fondamentali e non mi sposterei da la finchè non sapessi differenziare in scioltezza.
Grazie di tutto (anche del consiglio) e comunque non ci sarei mai arrivato a scrivere quella formula finale.
Prego.
Ti ho portato per la strada lunga. Obiettivamente si può fare molto più rapidamente...
Ti ho portato per la strada lunga. Obiettivamente si può fare molto più rapidamente...
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