Esercizio sulla convergenza in $L^\infty$

[Seneca1]

Data la successione $f_n(x,y) = \exp ( - n |x| ) \cdot \sin ( n/(n+1) y)$ con $(x,y) \in Q = [-1,1]^2$, vorrei studiare la convergenza in $C^0 (Q)$ (lo spazio delle funzioni continue definite su $Q$ munito della norma del sup) e in $L^\infty (Q)$.
Naturalmente, siccome le funzioni che compongono la successione sono tutte continue e il limite puntuale è una funzione $f$ discontinua (nulla per $x \ne 0$ e $\sin(y)$ per $x = 0$), $f_n$ non converge in $C^0 (Q)$.

Come si può ragionare il caso di $L^\infty$? Grazie in anticipo.

[_fabricius_1]

Spero di non dire sciocchezze ma l''estremo superiore essenziale (dei moduli) delle $f_n$ coincide con l'estremo superiore che è sempre 1, mentre quello del limite è 0, quindi direi che non converge.

[Seneca1]

Sì, hai ragione. Mi sono effettivamente perso in un bicchier d'acqua.