Esercizio sulla continuità

[Andrew Ryan]

Mi trovo alle prese con questo esercizio che non riesco a capire:

Determinare $ a,b in RR $ in modo che sia continua e derivabile in tutto $ RR $ la funzione

$ f(x):={((x-1)e^(-2x+6),x>=3),(a*sin(pi*x)+b,x<3) :} $

Qualcuno può aiutarmi?grazie

[gio73]

Ciao Andrew,
creda che tu debba fare in modo che i due rami da cui è composta la nostra funzione si incontrino (la funzione deve essere continua, dunque il valore che la nostra funzione assume quando a x sostituiamo 3 deve essere lo stesso a cui tende il limite sinistro quando $x->3^-$) in maniera che il rapporto incrementale sia uguale da destra e da sinistra.
...non so se sono stata chiara...

[55sarah]

in pratica quello che dice gio73 e'

devi fare $\lim_{x\to 3}(x-1)e^{-2x+6}$ e $\lim_{x\to 3} a(\sin\pi x)+b$

poi devi fare la derivata del primo pezzo e del secondo pezzo e fare il limite sempre che tende a 3

Ricorda: una funzione e' derivabile se e solo se e' continua!

[Andrew Ryan]

"55sarah":in pratica quello che dice gio73 e'

devi fare $\lim_{x\to 3}(x-1)e^{-2x+6}$ e $\lim_{x\to 3} a(\sin\pi x)+b$

poi devi fare la derivata del primo pezzo e del secondo pezzo e fare il limite sempre che tende a 3

Ricorda: una funzione e' derivabile se e solo se e' continua!

non è molto chiaro,ho provato ma non riesco a capire come trovare a e b una volta fatti i limiti delle funzioni e delle rispettive derivate.Qui sotto metto i link dei limiti calcolati su wolfram alpha,scusatemi se non li ho scritti a mano qui ma in questo momento non ho tempo,i primi due link sono della prima funzione,rispettivamente f(x) e sua derivata,gli altri due link sono della seconda.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... +as+x-%3E3
http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... +as+x-%3E3

http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... +as+x-%3E3
http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+0+as+x-%3E3

[gugo82]

"Andrew Ryan":Mi trovo alle prese con questo esercizio che non riesco a capire:

Determinare $ a,b in RR $ in modo che sia continua e derivabile in tutto $ RR $ la funzione

$ f(x):={((x-1)e^(-2x+6),x>=3),(a*sin(pi*x)+b,x<3) :} $

Qualcuno può aiutarmi?grazie

Visto che la tua funzione è continua e derivabile in \(\mathbb{R}\setminus \{3\}\), basta andare ad indagare cosa succede in \(3\).
In particolare, la tua funzione è continua in \(3\) se e solo se risulta:
\[
\tag{1}
\lim_{x\to 3^-} f(x)=f(3)\quad \left[=\lim_{x\to 3^+} f(x)\ \text{, perchè la } f \text{ è definita in } 3 \text{ e continua da destra in } 3\right]
\]
ed è derivabile solo se:
\[
\tag{2}
\lim_{x\to 3^-} \frac{f(x)-f(3)}{x-3} = \lim_{x\to 3^+} \frac{f(x)-f(3)}{x-3}
\]
Nel migliore dei casi (come questo), le (1) e (2) formano un sistema di due equazioni nelle due incognite \(a,b\) che è facile da risolvere.

Prova.