Esercizio sul teorema di esistenza degli zeri e Rolle
Sia $f: [0,3] \to RR$ continua in $[0,3]$ e derivabile in $(0,3)$
Vero o Falso?
Se $f(0)*f(3)=2$ allora l'equazione $f(x)=0$ non ha soluzione in $[0,3]$.
Qui non so cosa mettere, perché ci possono essere parabole che agli estremi assumono valori positivi, contravvenendo all'ipotesi del Teorema di esistenza degli zeri, e che hanno zeri, ma non è un caso che vale sempre. Quindi scrivo FALSA?
Qui invece credo c'entri Rolle.
1)Se $f$ si annulla in tre punti di $[0,3]$ allora $f'$ in almeno due punti di $[0,3]$
2)Se $f$ si annulla in due punti di $[0,3]$ allora $f$ cambia segno in $[0,3]$
La 1 non so cosa fare, la 2 penso sia VERA.
Voi che dite? Sti esercizietti di ragionamento sono ostici e semplici al tempo stesso
Vero o Falso?
Se $f(0)*f(3)=2$ allora l'equazione $f(x)=0$ non ha soluzione in $[0,3]$.
Qui non so cosa mettere, perché ci possono essere parabole che agli estremi assumono valori positivi, contravvenendo all'ipotesi del Teorema di esistenza degli zeri, e che hanno zeri, ma non è un caso che vale sempre. Quindi scrivo FALSA?
Qui invece credo c'entri Rolle.
1)Se $f$ si annulla in tre punti di $[0,3]$ allora $f'$ in almeno due punti di $[0,3]$
2)Se $f$ si annulla in due punti di $[0,3]$ allora $f$ cambia segno in $[0,3]$
La 1 non so cosa fare, la 2 penso sia VERA.
Voi che dite? Sti esercizietti di ragionamento sono ostici e semplici al tempo stesso
Risposte
Ciao, la prima dovrebbe esssere falsaa poichè non hai sufficienti informazioni, infatti sebbene i due estremi sono concordi ($f(0)$ e $f(3)$ hanno lo stesso segno ) non è detto che la funzione non possa comunque scendere sotto o salire sopra l'asse delle ascisse ed avere quindi uno o più zeri.
La 1) invece è vera per il terema di Rolle, infatti se la funzione si annulla in tre punti distinti significa che puoi individuare almeno 2 intervalli contenuti in $[0,3]$ in cui agli estremi la funzione assume lo stesso valore 0, per il terorema di Rolle, puoi trovare in ciascuno dei due intervalli un punto in cui la derivata si annulla.
La 2) anche è vera, e in particolare il cambiamento di segno ha a che fare con la crescenza e decrescenza della funzione ed è una conseguenza (piuttosto importante) del teorema di Lagrange
La 1) invece è vera per il terema di Rolle, infatti se la funzione si annulla in tre punti distinti significa che puoi individuare almeno 2 intervalli contenuti in $[0,3]$ in cui agli estremi la funzione assume lo stesso valore 0, per il terorema di Rolle, puoi trovare in ciascuno dei due intervalli un punto in cui la derivata si annulla.
La 2) anche è vera, e in particolare il cambiamento di segno ha a che fare con la crescenza e decrescenza della funzione ed è una conseguenza (piuttosto importante) del teorema di Lagrange
"Alegomind":
Ciao, la prima dovrebbe esssere falsaa poichè non hai sufficienti informazioni, infatti sebbene i due estremi sono concordi ($f(0)$ e $f(3)$ hanno lo stesso segno ) non è detto che la funzione non possa comunque scendere sotto o salire sopra l'asse delle ascisse ed avere quindi uno o più zeri.
La 1) invece è vera per il terema di Rolle, infatti se la funzione si annulla in tre punti distinti significa che puoi individuare almeno 2 intervalli contenuti in $[0,3]$ in cui agli estremi la funzione assume lo stesso valore 0, per il terorema di Rolle, puoi trovare in ciascuno dei due intervalli un punto in cui la derivata si annulla.
La 2) anche è vera, e in particolare il cambiamento di segno ha a che fare con la crescenza e decrescenza della funzione ed è una conseguenza (piuttosto importante) del teorema di Lagrange
Grazie mille!
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