Esercizio sul segno della derivata prima
$f(x)=ln((7x^3+3x)/(6x^2-1))$
Devo calcolarne la derivata prima e studiarne il segno:
Ho calcolato la derivata prima:
$f'(x)= ((6x^2-1)/(7x^3+3x))*(((21x^2+3)(6x^2-1)-(7x^3+3x)(12x))/(6x^2-1))$
Ma il segno di questa robaccia come lo trovo? Come risolvo l'equazione $f'(x)>0$ ?
Devo calcolarne la derivata prima e studiarne il segno:
Ho calcolato la derivata prima:
$f'(x)= ((6x^2-1)/(7x^3+3x))*(((21x^2+3)(6x^2-1)-(7x^3+3x)(12x))/(6x^2-1))$
Ma il segno di questa robaccia come lo trovo? Come risolvo l'equazione $f'(x)>0$ ?
Risposte
Preliminarmente, è necessario calcolare il dominio della funzione.
Ciò fatto, hai gratis che il primo fattore della derivata (cioè $(6x^2-1)/(7x^3+3x)$) è positivo, quindi ti basta studiare il segno della seconda frazione. Anzi, solo del numeratore della seconda frazione (infatti hai dimenticato di elevare al quadrato il denominatore)
Se svolgi di quel numeratore, otterrai una disequazione di quarto grado facilmente scomponibile con Ruffini
Ciò fatto, hai gratis che il primo fattore della derivata (cioè $(6x^2-1)/(7x^3+3x)$) è positivo, quindi ti basta studiare il segno della seconda frazione. Anzi, solo del numeratore della seconda frazione (infatti hai dimenticato di elevare al quadrato il denominatore)
Se svolgi di quel numeratore, otterrai una disequazione di quarto grado facilmente scomponibile con Ruffini
Ma il numeratore del primo fattore non è valido soltanto per $x<-1/sqrt(6)$ v $x>1/sqrt(6)$ ?
1)Cosa significa "è valido"?
2) Hai scritto il dominio della funzione?
2) Hai scritto il dominio della funzione?
1) intentevo dire che ponendolo maggiore di zero si ottengono quegli intervalli come soluzioni, visto che $6x^2−1$ non è maggiore di zero per ogni x€R.
2) si, ho ottenuto $x!=0 , x!=+-1/sqrt(6)$
2) si, ho ottenuto $x!=0 , x!=+-1/sqrt(6)$
No, il dominio non è quello. C'è un logaritmo
Quello è il dominio di $f'(x)$, siccome si tratta di uno studio di funzione ho calcolato anche quello di $f(x)$ che è $dom(f(x))=(-1/sqrt(6),0) U (1/sqrt(6),+oo)$
Ok. Allora, posto che noi consideriamo solo le $x$ dentro il dominio di $f$, per lo studio di
\[
f'(x)= \frac{6x^2 -1}{7x^3 +3x} \cdot \frac{ (21x^2+3)(6x^2-1)-12x(7x^3+3x)}{(6x^2-1)^2}
\]
ti basta analizzare il numeratore della seconda frazione, perchè tutto il resto è positivo
\[
f'(x)= \frac{6x^2 -1}{7x^3 +3x} \cdot \frac{ (21x^2+3)(6x^2-1)-12x(7x^3+3x)}{(6x^2-1)^2}
\]
ti basta analizzare il numeratore della seconda frazione, perchè tutto il resto è positivo
Con ruffini ho scomposto il numeratore in: $(x-1)(84x^3-42x^2+15x-3)$ adesso il buonsenso mi sta dicendo di usare ancora ruffini per scomporre il fattore di terzo grado ma non trovo un $x€N$ per cui $84x^3-42x^2+15x-3=0$, ammesso che esista.
Mi sa che hai sbagliato qualche conto... quanto ti viene il numeratore?
Il coefficiente di grado quattro a me viene $42$, non $84$
PS: se vuoi scrivere $x in NN$ devi scrivere \$x in NN\$
Il coefficiente di grado quattro a me viene $42$, non $84$
PS: se vuoi scrivere $x in NN$ devi scrivere \$x in NN\$
Hai ragione, ho commesso un errore di ricopiatura e quindi di calcolo. Sono arrivato a scomporre il numeratore in
$(x-1)(x+1)(42x^2+3)$ il cui terzo fattore è sempre maggiore di zero.
Per cui mettendo nella famosa tabella del segno i restanti due fattori ho scoperto che $f(x)$ cresce fino a -1, decresce fino a 1 e poi cresce. Questo va calcolato nel dominio di $f(x)$, e quindi non ci interessa il fatto che decresca la funzione prima di -1, visto che in realtà $f(x)$ non esiste nemmeno in quell'intervallo.
Dico bene?
$(x-1)(x+1)(42x^2+3)$ il cui terzo fattore è sempre maggiore di zero.
Per cui mettendo nella famosa tabella del segno i restanti due fattori ho scoperto che $f(x)$ cresce fino a -1, decresce fino a 1 e poi cresce. Questo va calcolato nel dominio di $f(x)$, e quindi non ci interessa il fatto che decresca la funzione prima di -1, visto che in realtà $f(x)$ non esiste nemmeno in quell'intervallo.
Dico bene?
Sì, direi di sì
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