Esercizio sul principio di induzione
Buongiorno, sto cercando di risolvere questo esercizio però non riesco a terminarlo, io ho utilizzato una dimostrazione per induzione. Qualche consiglio?
[xdom="anto_zoolander"]è preferibile formattare i testi matematici in linguaggio LaTeX, evitando l’inserimento di immagini[/xdom]
$1/n+1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n)>2/3$
[xdom="anto_zoolander"]è preferibile formattare i testi matematici in linguaggio LaTeX, evitando l’inserimento di immagini[/xdom]
Risposte
Posta qualche passaggio.
Ciao daniel98071998,
Si deve dimostrare che si ha:
$ 1/n+1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n) = \sum_{k = 0}^n 1/(n + k) > 2/3 $
Senza induzione, posto che sia $n \in \NN_{\ge 1} $, avrei sfruttato il fatto che $\AA x > 0 $ si ha $ x > ln(1 + x) \ge x/(x+1) $, per cui posto $ x := 1/(n + k) $ $ \AA k : 0 \le k \le n $ si ha:
$ 1/n+1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n) = \sum_{k = 0}^n 1/(n + k) > \sum_{k = 0}^n ln(1 + 1/(n + k)) = \sum_{k = 0}^n [ln(n + k + 1) - ln(n + k)] = $
$ = ln(2n + 1) - ln(n) = ln(\frac{2n + 1}{n}) = ln(1 + \frac{n + 1}{n}) \ge \frac{(n + 1)/n}{(n + 1)/n + 1} = (n + 1)/(n + 2) \ge 2/3 $
$\AA n \ge 1 $
Si deve dimostrare che si ha:
$ 1/n+1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n) = \sum_{k = 0}^n 1/(n + k) > 2/3 $
Senza induzione, posto che sia $n \in \NN_{\ge 1} $, avrei sfruttato il fatto che $\AA x > 0 $ si ha $ x > ln(1 + x) \ge x/(x+1) $, per cui posto $ x := 1/(n + k) $ $ \AA k : 0 \le k \le n $ si ha:
$ 1/n+1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n) = \sum_{k = 0}^n 1/(n + k) > \sum_{k = 0}^n ln(1 + 1/(n + k)) = \sum_{k = 0}^n [ln(n + k + 1) - ln(n + k)] = $
$ = ln(2n + 1) - ln(n) = ln(\frac{2n + 1}{n}) = ln(1 + \frac{n + 1}{n}) \ge \frac{(n + 1)/n}{(n + 1)/n + 1} = (n + 1)/(n + 2) \ge 2/3 $
$\AA n \ge 1 $
Si ho capito la tua dimostrazione, solo che a me servirebbe per induzione.
Io ho visto che per n=1 è vera, e quindi P(n) vera.
Il problema sorge per p(n+1).
Faccio tutte le sostituzioni necessari e poi vado a raccogliere il primo e ultimo termine ma poi rimango bloccato.
Io ho visto che per n=1 è vera, e quindi P(n) vera.
Il problema sorge per p(n+1).
Faccio tutte le sostituzioni necessari e poi vado a raccogliere il primo e ultimo termine ma poi rimango bloccato.
Effettivamente, la via diretta porta a:
\[
\begin{split}
\frac{1}{n+1} + \cdots + \frac{1}{2n} + \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} &= \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} + \cdots + \frac{1}{2n} + \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} - \frac{1}{n} \\
&> \frac{2}{3} + \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} - \frac{1}{n} \\
&= \frac{2}{3} - \frac{3n+2}{(2n+2)(2n+1)n} \;\ldots
\end{split}
\]
Quindi non si conclude nulla.
Con questa tecnica, al massimo, si prova che la successione assegnata è decrescente.
Ci si deve pensare un po’.
\[
\begin{split}
\frac{1}{n+1} + \cdots + \frac{1}{2n} + \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} &= \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} + \cdots + \frac{1}{2n} + \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} - \frac{1}{n} \\
&> \frac{2}{3} + \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} - \frac{1}{n} \\
&= \frac{2}{3} - \frac{3n+2}{(2n+2)(2n+1)n} \;\ldots
\end{split}
\]
Quindi non si conclude nulla.
Con questa tecnica, al massimo, si prova che la successione assegnata è decrescente.
Ci si deve pensare un po’.
Ciao,
un primo passo è notare che,
$1/(n+1) + \cdots + 1/(2n) + 1/(2n + 1) + 1/(2n + 2) > 1/(n+1) + \cdots + 1/(2n) + 1/(2n + 2) + 1/(2n + 2) $
un primo passo è notare che,
$1/(n+1) + \cdots + 1/(2n) + 1/(2n + 1) + 1/(2n + 2) > 1/(n+1) + \cdots + 1/(2n) + 1/(2n + 2) + 1/(2n + 2) $
Nel frattempo mi è venuta in mente anche un'altra dimostrazione più semplice, anche perché nel tuo OP scrivi
il che non sembra implicare l'obbligatorietà della dimostrazione per induzione...
Posto $f(x) := 1/(n + x) $, la funzione $f(x) $ è convessa $\AA x >= 0 $, quindi si ha:
$\frac{f(0) + f(1) + f(2) + ... + f(n)}{n + 1} \ge f(\frac{0 + 1 + 2 + ... + n}{n + 1}) $
da cui segue
$ \sum_{k = 0}^n 1/(n + k) \ge \frac{n + 1}{n + \frac{1 + 2 + ... + n}{n + 1}} = \frac{n + 1}{n + \frac{n}{2}} = \frac{2n + 2}{3n} > \frac{2n + 2}{3n + 3} = 2/3 $
"daniel98071998":
io ho utilizzato una dimostrazione per induzione
il che non sembra implicare l'obbligatorietà della dimostrazione per induzione...
Posto $f(x) := 1/(n + x) $, la funzione $f(x) $ è convessa $\AA x >= 0 $, quindi si ha:
$\frac{f(0) + f(1) + f(2) + ... + f(n)}{n + 1} \ge f(\frac{0 + 1 + 2 + ... + n}{n + 1}) $
da cui segue
$ \sum_{k = 0}^n 1/(n + k) \ge \frac{n + 1}{n + \frac{1 + 2 + ... + n}{n + 1}} = \frac{n + 1}{n + \frac{n}{2}} = \frac{2n + 2}{3n} > \frac{2n + 2}{3n + 3} = 2/3 $
@pilloeffe:
Questa è bella.
"pilloeffe":
Nel frattempo mi è venuta in mente anche un'altra dimostrazione più semplice [segue argomento di convessità, n.d.gugo82]
Questa è bella.
"gugo82":
Questa è bella.
Grazie!
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