Esercizio sul principio di induzione
Buona sera a tutti,
mi servirebbe una mano nello svolgimento del seguente esercizio:
Dimostrare che \( \sum_{k=2}^{n}log(1-\frac{1}{k^2})=log(\frac{n+1}{2^n}) \)
Svolgimento
La proposizione \( P_{2} \) è vera perchè \( \sum_{k=2}^{2}log(1-\frac{1}{4})=log(\frac{2+1}{4}) \) quindi, supposta vera la generica proposizione \( P_{h} \) : \( \sum_{k=2}^{h}log(1-\frac{1}{k^2})=log(\frac{h+1}{2^h}) \), dobbiamo dimostrare che \( \sum_{k=2}^{h+1}log({1-\frac{1}{k^2}})=log(\frac{h+2}{2^{h+1}}) \).
Poi ho svolto così \( \sum_{k=2}^{h+1}log({1-\frac{1}{k^2}})=\sum_{k=2}^{h}log({1-\frac{1}{k^2}})+log(1-\frac{1}{(h+1)^2})=log(\frac{h+1}{2^h})+log(1-\frac{1}{(h+1)^2})=log(\frac{h+1}{2^h})+log(\frac{h^2+2h}{(h+1)^2})=log(\frac{h+2}{2^h})+log(\frac{h}{h+1}) \)
e giunti a questo punto mi blocco
Suggerimenti ?
mi servirebbe una mano nello svolgimento del seguente esercizio:
Dimostrare che \( \sum_{k=2}^{n}log(1-\frac{1}{k^2})=log(\frac{n+1}{2^n}) \)
Svolgimento
La proposizione \( P_{2} \) è vera perchè \( \sum_{k=2}^{2}log(1-\frac{1}{4})=log(\frac{2+1}{4}) \) quindi, supposta vera la generica proposizione \( P_{h} \) : \( \sum_{k=2}^{h}log(1-\frac{1}{k^2})=log(\frac{h+1}{2^h}) \), dobbiamo dimostrare che \( \sum_{k=2}^{h+1}log({1-\frac{1}{k^2}})=log(\frac{h+2}{2^{h+1}}) \).
Poi ho svolto così \( \sum_{k=2}^{h+1}log({1-\frac{1}{k^2}})=\sum_{k=2}^{h}log({1-\frac{1}{k^2}})+log(1-\frac{1}{(h+1)^2})=log(\frac{h+1}{2^h})+log(1-\frac{1}{(h+1)^2})=log(\frac{h+1}{2^h})+log(\frac{h^2+2h}{(h+1)^2})=log(\frac{h+2}{2^h})+log(\frac{h}{h+1}) \)
e giunti a questo punto mi blocco
Suggerimenti ?
Risposte
Ho tentato anche io, però sono arrivato allo stesso problema, e allora mi è venuto il dubbio se per per n=3 era ancora vera la sommatoria e mi sono trovo $log(2/3) $ ; forse ho sbagliato io. Ma ricontrolla per sicurezza.
Avrei trovato l'errore, quello da dimostrare non è
\( \sum_{k=2}^{n}log(1-\frac{1}{k^2})=log(\frac{n+1}{2^n}) \)
bensì \( \sum_{k=2}^{n}log(1-\frac{1}{k^2})=log(\frac{n+1}{2n}) \)
questo viene.
\( \sum_{k=2}^{n}log(1-\frac{1}{k^2})=log(\frac{n+1}{2^n}) \)
bensì \( \sum_{k=2}^{n}log(1-\frac{1}{k^2})=log(\frac{n+1}{2n}) \)
questo viene.
Buon giorno a tutti 
Dopo una nottata passata a ragionarci su sono arrivato alla stessa conclusione, anche perché le ho provate tutte
La prof avrà sicuramente sbagliato a trascrivere il testo
Grazie mille
"@melia":
Avrei trovato l'errore, quello da dimostrare non è
\( \sum_{k=2}^{n}log(1-\frac{1}{k^2})=log(\frac{n+1}{2^n}) \)
bensì \( \sum_{k=2}^{n}log(1-\frac{1}{k^2})=log(\frac{n+1}{2n}) \)
questo viene.
Dopo una nottata passata a ragionarci su sono arrivato alla stessa conclusione, anche perché le ho provate tutte
La prof avrà sicuramente sbagliato a trascrivere il testo
Grazie mille
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