Esercizio sul limite

[Jek1]

Ciao a tutti. Non riesco a risolvere in alcun modo questo limite:
$\lim_{n \to \+infty}x^4$$ln(2-$$e^(3sqrt(x^-8+x^-16))$) (forse non si vede bene, ma all'interno della radice il primo esponente è $-8$, il secondo esponente è $-16$)

Ho provato a risolverlo con un cambiamento di variabile ponendo $1/x$$=t$, ma mi esce $+infty$ invece dovrebbe uscire $-3$. Qualcuno sa indirizzarmi nella giusta direzione?

[Lorin1]

Concentrati prima di tutto nella radice e iniziamo a "togliere" il fatto più lento, utilizzando un confronto asintotico...

[lordb]

Che faccia $-3$ per $x->+oo$ mi pare un po' impossibile, forse intendevi $+3$ o $x->-oo$.

Comunque se consideri l'uguaglianza $log_e(e^(3sqrt(x^(-8)+x^(-18))))=3sqrt(x^(-8)+x^(-18))$ risolvi subito...

[Jek1]

Scusatemi, ho sbagliato a scrivere la funzione.
L'esercizio è questo:

$\lim_{n \to \+infty}x^4$$ln(2-$$e^(3sqrt(x^-8+x^-16))$)

[lordb]

Guarda non è difficile,

per cominciare concentrati sul termine $e^(3sqrt(x^(-8)+x^(-16)))$, se poni $3sqrt(x^(-8)+x^(-16))=t$ ottieni che per $x->+oo$, $t->0$ di conseguenza puoi conviene sfruttare lo sviluppo asintotico della serie di potenze $exp(t)=sum_(n=0)^(+oo)t^n/(n!)$ oppure una approssimazione Taylor in un intorno di $0$ (McLaurin).

Poi ti balzerà subito all'occhio un limite notevole...

[Jek1]

"lordb":...se poni $3sqrt(x^(-8)+x^(-16))=t$ ottieni che per $x->+oo$, $t->0$...

Ho provato ad effettuare questo tipo di sostituzione, ma poi mi riesce difficile ricavare $x^-8$ e $x^-16$.
Io ho posto $x^-4$$=t$ ed ho ottenuto:
$\lim_{t \to \0}1/t$$ln(2-$$e^((3/t)sqrt(1+t^2))$) (non so se si vede bene, l'esponente è $(3/t)$)
e svolgendo i vari passaggi:
$\lim_{t \to \0}1/t$$ln2$$(1+(-e^((3/t)sqrt(1+t^2)))/2)$
ed avendo un limite notevole del tipo $\lim_{t \to \0}$$(ln(1+x))/x$ dove $x=$$(-e^((3/t)sqrt(1+t^2)))/2$
allora ottengo:
$\lim_{t \to \0}1/t$$ln2$$-$$\lim_{t \to \0}1/t$$(e^((3/t)sqrt(1+t^2))/2)$

Come vedete non mi esce...dove è che sbaglio?

[lordb]

Forse non hai capito cosa intendevo:

Devi porre $3sqrt(x^(-8)+x^(-16))=t$ per sfruttare lo sviluppo asintotico dell'esponenziale,ovvero:

$e^t=1+t+o(t)$

Se ri-sostitusci ottieni: $e^(3sqrt(x^(-8)+x^(-16)))=1+3sqrt(x^(-8)+x^(-16))+o (3sqrt(x^(-8)+x^(-16)))$

Quindi:

$ lim_(x->oo)x^4*log_e (2-1-3sqrt(x^(-8)+x^(-16))+o (3sqrt(x^(-8)+x^(-16)))) = $
$=lim(x->+oo)x^4*log(1-3sqrt(x^(-8)+x^(-16))+o (3sqrt(x^(-8)+x^(-16)))) $.

Poichè $1/x^(8)>>>>_(x->+oo)1/x^(16)$ ottieni:

$lim_(x->oo)x^4*log_e (1-3sqrt(x^(-8))+o (3sqrt(x^(-8))))=lim_(x->oo)x^4*log_e (1-3/x^(4)+o (3/(x^(4))))$

Posto $-3/x^(4)+o (3/(x^(4)))=z$ hai che per $x->+oo$ $z->0$ quindi :

$log_e (1+z)~~_(z->0)z$

$lim_(x->oo)x^4*log_e (1-3/x^(4)+o (3/(x^(4))))=lim_(x->oo)x^4*(-3/x^(4)+o (3/(x^(4))))=-3$