Esercizio sul laplaciano
Ragazzi, ho un problema con un esercizio:
"Calcolare $ Delta (ul(s) ox ul(x)) $ (ovviamente con $ Delta $ si intende il laplaciano) con $ ul(s) $ e $ ul(x) $ vettori assegnati".
Io pensavo di risolverlo svolgendo prima il tensore e poi, una volta ottenuta la mia matrice $ ( ( a,b,c ),(d,e,f ),( g,h,i ) ) $ , fare la derivata seconda del componente $ a $ rispetto ad $ uli,ulj,ulk $ e sommare. Poi ripetere l'operazione per tutti gli altri elementi. Il punto è questo: so che così risolvo il problema correttamente però mi viene una cosa veramente lunga da fare, soprattutto se le componenti sono prodotti tra coseni e seni! Non c'è un modo più rapido per risolverlo? Che ne so, magari una proprietà tipo $ Delta(ulsoxulx)=(Deltauls)oxulx+ulsox(Deltaulx) $ (che immagino sia decisamente sbagliata)! Grazie mille a chiunque risponderà!
"Calcolare $ Delta (ul(s) ox ul(x)) $ (ovviamente con $ Delta $ si intende il laplaciano) con $ ul(s) $ e $ ul(x) $ vettori assegnati".
Io pensavo di risolverlo svolgendo prima il tensore e poi, una volta ottenuta la mia matrice $ ( ( a,b,c ),(d,e,f ),( g,h,i ) ) $ , fare la derivata seconda del componente $ a $ rispetto ad $ uli,ulj,ulk $ e sommare. Poi ripetere l'operazione per tutti gli altri elementi. Il punto è questo: so che così risolvo il problema correttamente però mi viene una cosa veramente lunga da fare, soprattutto se le componenti sono prodotti tra coseni e seni! Non c'è un modo più rapido per risolverlo? Che ne so, magari una proprietà tipo $ Delta(ulsoxulx)=(Deltauls)oxulx+ulsox(Deltaulx) $ (che immagino sia decisamente sbagliata)! Grazie mille a chiunque risponderà!
Risposte
Scusa la domanda banale: sei sicuro di dover fare il laplaciano di un prodotto tensoriale?
Ho appena iniziato a vedere queste cose anche io e seguendo la definizione il laplaciano è la divergenza del gradiente, quindi seguendo il ragionamento nel tuo caso dovresti fare prima il $\nabla(s ox x)$ e come lo definisci il gradiente di un campo tensoriale?
Ho appena iniziato a vedere queste cose anche io e seguendo la definizione il laplaciano è la divergenza del gradiente, quindi seguendo il ragionamento nel tuo caso dovresti fare prima il $\nabla(s ox x)$ e come lo definisci il gradiente di un campo tensoriale?
Sì, scusami, hai ragione... Ho saltato un pezzo... Quando ho scritto la matrice, intendevo essere il gradiente del tensore... Comunque sia, svolgendo la divergenza del gradiente riesco a trovare il Laplaciano, il problema è che mi sembra una cosa spropositata (mi viene una matrice enorme!) e vorrei capire se ci fosse un altro modo per affrontare il problema e semplificarlo... Grazie del tuo interessamento!
Eh ma resta il problema che ti ho scritto sopra, come lo definisci il gradiente di un campo tensoriale? (cioè cos'è?)
Sto iniziando a studiare anche io queste cose e abbiamo definito due situazioni riguardo il gradiente:
1)Il gradiente di un campo scalare è un campo vettoriale
2)Il gradiente di un campo vettoriale è un campo tensoriale
come si fa a definire il gradiente di un campo tensoriale?
Sto iniziando a studiare anche io queste cose e abbiamo definito due situazioni riguardo il gradiente:
1)Il gradiente di un campo scalare è un campo vettoriale
2)Il gradiente di un campo vettoriale è un campo tensoriale
come si fa a definire il gradiente di un campo tensoriale?
Io pensavo ad una matrice composta da elementi che sono le derivate parziali del tensore... Però così facendo verrebbe una cosa enorme... Allora ho preso ogni elemento del tensore e l'ho derivato due volte rispetto ad ogni componente e poi ho sommato le derivate parziali... Ottengo così una matrice 3x3 che è appunto il Laplaciano... Rimane però il problema della laboriosità di questi calcoli... A parte questo, il gradiente di un tensore credo sia una matrice 3x3 con elementi composti da tre sottoelementi, le derivate parziali appunto... Ma non saprei (ammesso che sia corretto) come scriverlo...
Guarda come ti ho detto sopra non so che dire anche perchè sugli appunti del corso la prof ci ha fatto definire il laplaciano solo di un campo scalare e di un campo vettoriale, mai per un campo tensoriale. Anche perchè rimane sempre la questione: che tipo di campo è il gradiente di un campo tensoriale? (sempre che si possa fare)
Il Laplaciano è definibile in geometria differenziale come la contrazione di una doppia derivata covariante, ovvero in componenti
$T^{i_1....i_n//j}_{\qquad\qquad //j}$
Ovviamente quindi risulta in generale essere un campo tensoriale.
Nel caso di coordinate cartesiane in metrica euclidea la derivata covariante coincide con quella parziale. Quindi bisogna fare
$\partial_k \partial^k (v_i w_j)= \Delta (\v_i v_j)$ in componenti, e fissando tutte le combinazioni degli indici in forma matriciale equivale a fare il laplaciano di ogni componente della matrice, che è quello che avevi scritto tu
$T^{i_1....i_n//j}_{\qquad\qquad //j}$
Ovviamente quindi risulta in generale essere un campo tensoriale.
Nel caso di coordinate cartesiane in metrica euclidea la derivata covariante coincide con quella parziale. Quindi bisogna fare
$\partial_k \partial^k (v_i w_j)= \Delta (\v_i v_j)$ in componenti, e fissando tutte le combinazioni degli indici in forma matriciale equivale a fare il laplaciano di ogni componente della matrice, che è quello che avevi scritto tu
Perfetto! Grazie mille a tutti!
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