Esercizio sul gradiente sono arrugginita con l'analisi matematica e mi serve un piccolo aiuto!!!
Date le funzioni u=x_3 e u=x_1^2+x_2^2+x_3^2-R^2 calcolarne i gradienti e verificare che sono ortogonale alla superficie u=0 e che sono diretti verso le regioni in cui u>0.
Non faccio analisi da anni e sarà anche un esercizio semplicissimo ma non ricordo nulla per favore aiuto!!!
Non faccio analisi da anni e sarà anche un esercizio semplicissimo ma non ricordo nulla per favore aiuto!!!
Risposte
Funzioni definite dove ?
nel primo caso $u(x_3)=x_3$ è una funzione di una variabile definita dove? Su $\R^3$ ?
nel secondo caso chi è $R$ ? è la distanza dall'origine? è un altra variabile? è una costante arbitraria? $u(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2-R^2$
Ammesso che siano due funzioni definite su tutto lo spazio tridimensionale $\R^3$ e che $R^2$ nella formula sia una costante arbitraria, allora nel primo caso il gradiente vale $\nabla_u(\vec{x})=(0,0,1)$ per ogni $\vec{x}$ appartenente al dominio di $u$.
Nel secondo caso hai invece che $\nabla_u(\vec{x})=2(x_1,x_2,x_3)$ dove $\vec{x}=(x_1,x_2,x_3)$ quindi $nabla_u(\vec{x})=2\vec{x}$.
A questo punto l'equazione $u=0$ nel primo caso descrive il piano $x_3=0$ e nel secondo caso descrive il guscio sferico $x_1^2+x_2^2+x_3^2-R^2=0$ per verificare l'ortogonalità non devi far altro che procedere col prodotto scalare fra il gradiente ed il generico punto(vettore) appartenente alla superficie, quindi nel primo caso hai:
$$
(0,0,1)\cdot(x_1,x_2,0)=0*x_1+0*x_2+1*0=0
$$
Quindi poiché il prodotto a scalare è nullo allora i due vettori sono perpendicolari, avendo svolto il prodotto scalare fra il gradiente generico e il generico punto appartenente al piano $x_3=0$ abbiamo dimostrato l'ortogonalità.
Idem per il secondo caso, solo che per questo è più utile calcolare il gradiente e la funzione in coordinate sferiche grazie alle quali ottieni che $u=\rho^2-R^2$ e che il gradiente è banalmente $\nabla_u(\vec{x})=(2\rho,0,0)$ dove $\vec{x}=(\rho,\theta,\phi)$ , quindi facciamo il prodotto scalare nei punti appartenenti al guscio sferico, ovvero quando $\rho=R$, avremo che :
$$
(2R,0,0)\cdot (R,\theta,\phi)=2R^2
$$
Ad esempio, a me non torna che il gradiente sia ortogonale alla superficie $u=0$ tranne che nel caso degenere $R=0$ , quindi aspetto che qualcuno mi corregga, o nel caso se potessi far chiarezza sulla superficie di interesse, visto che stai chiamando tutto $u$.
Per l'ultimo quesito semplicemente ti basta notare che il prodotto scalare fra il gradiente e un generico vettore è positivo se $u>0$, quindi il gradiente punta verso le tali zone, altrimenti il prodotto scalare sarebbe negativo.
nel primo caso $u(x_3)=x_3$ è una funzione di una variabile definita dove? Su $\R^3$ ?
nel secondo caso chi è $R$ ? è la distanza dall'origine? è un altra variabile? è una costante arbitraria? $u(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2-R^2$
Ammesso che siano due funzioni definite su tutto lo spazio tridimensionale $\R^3$ e che $R^2$ nella formula sia una costante arbitraria, allora nel primo caso il gradiente vale $\nabla_u(\vec{x})=(0,0,1)$ per ogni $\vec{x}$ appartenente al dominio di $u$.
Nel secondo caso hai invece che $\nabla_u(\vec{x})=2(x_1,x_2,x_3)$ dove $\vec{x}=(x_1,x_2,x_3)$ quindi $nabla_u(\vec{x})=2\vec{x}$.
A questo punto l'equazione $u=0$ nel primo caso descrive il piano $x_3=0$ e nel secondo caso descrive il guscio sferico $x_1^2+x_2^2+x_3^2-R^2=0$ per verificare l'ortogonalità non devi far altro che procedere col prodotto scalare fra il gradiente ed il generico punto(vettore) appartenente alla superficie, quindi nel primo caso hai:
$$
(0,0,1)\cdot(x_1,x_2,0)=0*x_1+0*x_2+1*0=0
$$
Quindi poiché il prodotto a scalare è nullo allora i due vettori sono perpendicolari, avendo svolto il prodotto scalare fra il gradiente generico e il generico punto appartenente al piano $x_3=0$ abbiamo dimostrato l'ortogonalità.
Idem per il secondo caso, solo che per questo è più utile calcolare il gradiente e la funzione in coordinate sferiche grazie alle quali ottieni che $u=\rho^2-R^2$ e che il gradiente è banalmente $\nabla_u(\vec{x})=(2\rho,0,0)$ dove $\vec{x}=(\rho,\theta,\phi)$ , quindi facciamo il prodotto scalare nei punti appartenenti al guscio sferico, ovvero quando $\rho=R$, avremo che :
$$
(2R,0,0)\cdot (R,\theta,\phi)=2R^2
$$
Ad esempio, a me non torna che il gradiente sia ortogonale alla superficie $u=0$ tranne che nel caso degenere $R=0$ , quindi aspetto che qualcuno mi corregga, o nel caso se potessi far chiarezza sulla superficie di interesse, visto che stai chiamando tutto $u$.
Per l'ultimo quesito semplicemente ti basta notare che il prodotto scalare fra il gradiente e un generico vettore è positivo se $u>0$, quindi il gradiente punta verso le tali zone, altrimenti il prodotto scalare sarebbe negativo.
buongiorno e grazie per la risposta veloce,purtroppo non ho molte informazioni in merito sto studiando la legge di Fourier dove u rappresenta la temperatura,in particolare nella suddetta legge compare il gradiente di u rispetto alle variabili spaziali x_1,x_2,x_3.Alla fine del paragrafo poi viene richiesto lo svolgimento dell'esercizio sopra riportato,purtroppo non ho molte informazioni in mio possesso.
Lo svolgimento dell'esercizio è grosso modo quello che ti ho presentato, semplicemente nel secondo caso io non concludo la perpendicolari del gradiente al guscio sferico. cos'è che non ti torna?
Buongiorno ti ringrazio nuovamente per la risposta al problema,anche io non mi trovavo la perpendicolarità nella seconda funzione,ho solo cercato di inserire le funzione nel contesto da cui erano state tratte.Ancora grazie buona giornata!
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