Esercizio sul flusso
Ciao a tutti non capisco come impostare questo esercizio :
Calcolare il flusso del campo vettoriale $ v=(y^2+z^2)i +2xy j+2zx k $ attraverso la superficie piana triangolare che ha per vertici i punti $ A=(1,0,0) $ $ B=(0,0,3) $ $ C=(0,1,0) $ .
Come posso parametrizzare tale figura per poi applicare la definizione e calcolare il flusso? Qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmelo ? grazie in anticipo
Calcolare il flusso del campo vettoriale $ v=(y^2+z^2)i +2xy j+2zx k $ attraverso la superficie piana triangolare che ha per vertici i punti $ A=(1,0,0) $ $ B=(0,0,3) $ $ C=(0,1,0) $ .
Come posso parametrizzare tale figura per poi applicare la definizione e calcolare il flusso? Qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmelo ? grazie in anticipo
Risposte
Vediamo se ho capito 
Ho ricavato l'eq. del piano passante per quei tre punti $ 3x+3y+z=3 $ e ho parametrizzato in questo modo rispetto a x e y $ { ( x=x ),( y=y),(z=3-3x-3y ):} $ .
Ricavo $ P_x=| ( 1 ),( 0 ),( -3 ) | $ e $ P_y=| ( 0 ),(1 ),( -3 ) | $ .
Ora, applicando la definizione per cui $ phi=int int_D v*P_x xx P_y dD $ , ricavo $ v* P_x xx P_y = | ( x , y , 3-3x-3y ),( 1 , 0 , -3 ),( 0 , 1 , -3 ) | = 3 $ e quindi il calcolo del flusso si riconduce semplicemente alla soluzione dell'integrale $ int int_(0)^(1) 3dx dy $ .
Ti pare corretto?
Ho ricavato l'eq. del piano passante per quei tre punti $ 3x+3y+z=3 $ e ho parametrizzato in questo modo rispetto a x e y $ { ( x=x ),( y=y),(z=3-3x-3y ):} $ .
Ricavo $ P_x=| ( 1 ),( 0 ),( -3 ) | $ e $ P_y=| ( 0 ),(1 ),( -3 ) | $ .
Ora, applicando la definizione per cui $ phi=int int_D v*P_x xx P_y dD $ , ricavo $ v* P_x xx P_y = | ( x , y , 3-3x-3y ),( 1 , 0 , -3 ),( 0 , 1 , -3 ) | = 3 $ e quindi il calcolo del flusso si riconduce semplicemente alla soluzione dell'integrale $ int int_(0)^(1) 3dx dy $ .
Ti pare corretto?
Per quanto riguarda il secondo punto ho capito ,ho fatto una cavolata! ovviamente devo sfruttare il vettore per quanto riguarda $ P_x $ e $ P_y $ non ho capito se sono corretti o se ho sbagliato a scrivere l'eq. del piano o se farlo fosse inutile.. in sostanza non ho capito se sbaglio già in partenza oppure se l 'errore sta semplicemente nella matrice finale!
per quanto riguarda $ P_x $ e $ P_y $ non ho capito se sono corretti o se ho sbagliato a scrivere l'eq. del piano o se farlo fosse inutile.. in sostanza non ho capito se sbaglio già in partenza oppure se l 'errore sta semplicemente nella matrice finale!
Posso fare i conti ponendo $ 0<= x<= 1 $ e $ 0<= y<= 1 $ ? penso sia così dato che disegnando il triangolo si vede che y e x variano in questo range, no?
Quindi vediamo se ho fatto bene :
$ { ( x=x ),( y=y ),(z=3-3x-3y ):} $ con $ 0<=x<=1 $ e $ 0<=y<=1-x $ in questo modo descrivo il triangolo.
$ P_x =( (1), (0),(-3) ) $ e $ P_y=( (0), (1),(-3) ) $
$ P_x ^^ P_y *v = | ( y^2+(3-3x-3y)^2 , 2xy , 2x(3-3x-3y) ),( 1 , 0 , -3 ),( 0 , 1 , -3 ) | $ $ = 30y^2+21x^2+54xy-48x-54y+27 $
Ed infine integro $ int_0^1 int_0^(1-x) 30y^2+21x^2+54xy-48x-54y+27 dxdy $ che ,a conti fatti, dovrebbe fare 3 salvo errori di conto.
Ha senso così?
$ { ( x=x ),( y=y ),(z=3-3x-3y ):} $ con $ 0<=x<=1 $ e $ 0<=y<=1-x $ in questo modo descrivo il triangolo.
$ P_x =( (1), (0),(-3) ) $ e $ P_y=( (0), (1),(-3) ) $
$ P_x ^^ P_y *v = | ( y^2+(3-3x-3y)^2 , 2xy , 2x(3-3x-3y) ),( 1 , 0 , -3 ),( 0 , 1 , -3 ) | $ $ = 30y^2+21x^2+54xy-48x-54y+27 $
Ed infine integro $ int_0^1 int_0^(1-x) 30y^2+21x^2+54xy-48x-54y+27 dxdy $ che ,a conti fatti, dovrebbe fare 3 salvo errori di conto.
Ha senso così?
Grazie per l'aiuto TeM ,sei stato gentilissimo!!!
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