Esercizio sui solidi di rotazione
L'esercizio è questo:
Il volume del solido ottenuto ruotando $A = (x,y): (x-4)^2/4+(y-4)^2/9 <= 1$ quanto vale ?
A quanto ho capito dovrei mettere in coordinate polari l'equazione e poi fare un integrale doppio integrando in $d\rho$ e $d\theta$.
il problema è che non mi riesce questo passaggio e trovare poi gli estremi di integrazione.
Grazie per l'aiuto
Il volume del solido ottenuto ruotando $A = (x,y): (x-4)^2/4+(y-4)^2/9 <= 1$ quanto vale ?
A quanto ho capito dovrei mettere in coordinate polari l'equazione e poi fare un integrale doppio integrando in $d\rho$ e $d\theta$.
il problema è che non mi riesce questo passaggio e trovare poi gli estremi di integrazione.
Grazie per l'aiuto
Risposte
Ma dove deve ruotare sta cosa?
ah già scusa, mi sono dimenticato di scriverlo.
Ruota sull'asse x
Ruota sull'asse x
"andreangiolini":
ah già scusa, mi sono dimenticato di scriverlo.
Ruota sull'asse x
per quanto ne so...non serve alcun integrale doppio
$V=piint_(a)^(b) [f(x)]^2 dx $
Bene, quindi ATTORNO all'asse x! 
Visto che è una ellisse traslata, con semiasse minore 2 e semiasse maggiore 3, essa non interseca l'asse delle ascisse, e quindi è come calcolare il volume di una "ciambella" con profilo ellittico. Il modo più semplice, è quello di ricavare l'espressione implicita della funzione, cioè
$$y=4\pm 3\sqrt{1-\frac{(x-4)^2}{4}}$$
Ora, indichiamo con $f(x)=3\sqrt{1-\frac{(x-4)^2}{4}}$ i due archi risultano dati da $y_1=4+f(x)$, $y_2=4-f(x)$ e quindi il volume si ottiene facendo la differenza tra i due, cioè
$$V=\pi\int_2^6 (y_1^2-y_2^2)\ dx=\pi\int_2^6(16+f^2+8f-16-f^2+8f)\ dx=48\pi\int_2^6 \sqrt{1-\frac{(x-4)^2}{4}}\ dx$$
Poni $x-4=2\sin t$ così che $dx=2\cos t$, per $x=2\to t=-\pi/2$ e per $x=6\to t=\pi/2$ e si ha pure
$$\sqrt{1-\frac{(x-4)^2}{4}}=\sqrt{1-\sin^2 t}=\cos t$$
per cui
$$V=48\pi\int_{-\pi/2}^{\pi/2} 2\cos^2 t\ dt$$
e questo credo tu lo sappia integrare.
Visto che è una ellisse traslata, con semiasse minore 2 e semiasse maggiore 3, essa non interseca l'asse delle ascisse, e quindi è come calcolare il volume di una "ciambella" con profilo ellittico. Il modo più semplice, è quello di ricavare l'espressione implicita della funzione, cioè
$$y=4\pm 3\sqrt{1-\frac{(x-4)^2}{4}}$$
Ora, indichiamo con $f(x)=3\sqrt{1-\frac{(x-4)^2}{4}}$ i due archi risultano dati da $y_1=4+f(x)$, $y_2=4-f(x)$ e quindi il volume si ottiene facendo la differenza tra i due, cioè
$$V=\pi\int_2^6 (y_1^2-y_2^2)\ dx=\pi\int_2^6(16+f^2+8f-16-f^2+8f)\ dx=48\pi\int_2^6 \sqrt{1-\frac{(x-4)^2}{4}}\ dx$$
Poni $x-4=2\sin t$ così che $dx=2\cos t$, per $x=2\to t=-\pi/2$ e per $x=6\to t=\pi/2$ e si ha pure
$$\sqrt{1-\frac{(x-4)^2}{4}}=\sqrt{1-\sin^2 t}=\cos t$$
per cui
$$V=48\pi\int_{-\pi/2}^{\pi/2} 2\cos^2 t\ dt$$
e questo credo tu lo sappia integrare.
ok credo di aver capito tutto.
Grazie mille !
Grazie mille !
"ciampax":
Bene, quindi ATTORNO all'asse x!
Visto che è una ellisse traslata, con semiasse minore 2 e semiasse maggiore 3, essa non interseca l'asse delle ascisse, e quindi è come calcolare il volume di una "ciambella" con profilo ellittico.
per cui
$$V=48\pi\int_{-\pi/2}^{\pi/2} 2\cos^2 t\ dt$$
scusa Ciampax..ma se io invece considerassi l'ellisse traslata con centro degli assi nell'origine e poi applicassi la consueta formula per il volume del solido di rotazione intorno all'asse delle x:
$V=2piint_(0)^(a) f^2(x) dx =...=72/3pi$
non andrebbe bene?
anche perché risolvendo il tuo integrale:
$V=48\pi\int_{-\pi/2}^{\pi/2} 2\cos^2 t\ dt=...=48pi^2~= 473$
mi sembra un numero enorme....
Guarda che se la trasli viene un ellissoide: mentre la richiesta è quella del volume di un toro a sezione ellittica. E quel volume ha pure senso.
"ciampax":
Guarda che se la trasli viene un ellissoide: mentre la richiesta è quella del volume di un toro a sezione ellittica. E quel volume ha pure senso.
sono un idiota
Ma no, tranquillo, capita fare queste considerazioni e sbagliare.
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