Esercizio sui Numeri Complessi
Salve a tutti,
Ho svolto un esercizio sui numeri complessi e volevo sapere se ho fatto bene oppure no...
L'esercizio chiede di trovare la relazione fra i numeri complessi $z_1=a+bi$ e $z_2=c+di$ affinchè il numero complesso $((z_1+z_2)i)/(z_1-z_2)$ sia un numero reale.
Allora ho calcolato come di seguito:
$((z_1+z_2)i)/(z_1-z_2) = (((a+c)+(b+d)i)*((0)+1i))/((a-c)+(b-d)i) = ((-b-d)+(a+c)i)/((a-c)+(b-d)i) = ((-b-d)+(a+c)i)/((a-c)+(b-d)i) * ((a-c)-(b-d)i)/((a-c)-(b-d)i) = [((-b-d)(a-c)+(a+c)(b-d))/((a-c)^2+(b-d)^2)]+[((a^2-c^2)+(b^2-d^2))/((a-c)^2+(b-d)^2)]i = [(2(cb-ad))/((a-c)^2+(b-d)^2)]+[((a^2-c^2)+(b^2-d^2))/((a-c)^2+(b-d)^2)]i$
Quindi per ottenere un numero reale devo annullare la parte immaginaria:
$((a^2-c^2)+(b^2-d^2))/((a-c)^2+(b-d)^2)=0$ che si verifica per $a^2+b^2=c^2+d^2$ con $a!=c, b!=d$
Per esempio quando $z_1=2+3i$ e $z_2=-2-3i$.
Usando queste condizioni però anche la parte reale si annulla sempre...
Ho fatto bene? Grazie in anticipo!
Ho svolto un esercizio sui numeri complessi e volevo sapere se ho fatto bene oppure no...
L'esercizio chiede di trovare la relazione fra i numeri complessi $z_1=a+bi$ e $z_2=c+di$ affinchè il numero complesso $((z_1+z_2)i)/(z_1-z_2)$ sia un numero reale.
Allora ho calcolato come di seguito:
$((z_1+z_2)i)/(z_1-z_2) = (((a+c)+(b+d)i)*((0)+1i))/((a-c)+(b-d)i) = ((-b-d)+(a+c)i)/((a-c)+(b-d)i) = ((-b-d)+(a+c)i)/((a-c)+(b-d)i) * ((a-c)-(b-d)i)/((a-c)-(b-d)i) = [((-b-d)(a-c)+(a+c)(b-d))/((a-c)^2+(b-d)^2)]+[((a^2-c^2)+(b^2-d^2))/((a-c)^2+(b-d)^2)]i = [(2(cb-ad))/((a-c)^2+(b-d)^2)]+[((a^2-c^2)+(b^2-d^2))/((a-c)^2+(b-d)^2)]i$
Quindi per ottenere un numero reale devo annullare la parte immaginaria:
$((a^2-c^2)+(b^2-d^2))/((a-c)^2+(b-d)^2)=0$ che si verifica per $a^2+b^2=c^2+d^2$ con $a!=c, b!=d$
Per esempio quando $z_1=2+3i$ e $z_2=-2-3i$.
Usando queste condizioni però anche la parte reale si annulla sempre...
Ho fatto bene? Grazie in anticipo!
Risposte
Beh, mi sa che hai preso un brutto esempio 
. Infatti, la parte reale si annulla quando:
$cb=ad$ ovvero $a/b=c/d$
Quindi, riepilogando, la parte immaginaria si annulla quando quei due numeri complessi hanno medesimo modulo, mentre la parte reale si annulla quando il rapporto tra
i coefficienti reale ed immaginario sono uguali (attenzione: questo non vuol dire che hanno la stessa fase. Infatti, per l'esempio da te considerato, il primo si trova nel primo
quadrante mentre il secondo nel terzo quadrante).
Per il tuo particolare quindi si verificano anche le condizioni di annullamento della parte reale. Se avessi preso $z_1=2+3i$ e $z_2=\-+2\+-3i$ avresti verificato la prima ma non la seconda
. Infatti, la parte reale si annulla quando:$cb=ad$ ovvero $a/b=c/d$
Quindi, riepilogando, la parte immaginaria si annulla quando quei due numeri complessi hanno medesimo modulo, mentre la parte reale si annulla quando il rapporto tra
i coefficienti reale ed immaginario sono uguali (attenzione: questo non vuol dire che hanno la stessa fase. Infatti, per l'esempio da te considerato, il primo si trova nel primo
quadrante mentre il secondo nel terzo quadrante).
Per il tuo particolare quindi si verificano anche le condizioni di annullamento della parte reale. Se avessi preso $z_1=2+3i$ e $z_2=\-+2\+-3i$ avresti verificato la prima ma non la seconda
Grazie! Quindi posso concludere che per essere reale, i numeri complessi $z_1$ e $z_2$ devono avere lo stesso modulo... Giusto?
Esattamente.
Negli esempi vi siete fissati con parte reale e parte immaginaria con lo stesso modulo, ma funzionano benissimo anche
$\{(z_1 = 4+3i),(z_2 = 5):}$ oppure $\{(z_1 = 4+3i),(z_2 = 3+4i):}$
Negli esempi vi siete fissati con parte reale e parte immaginaria con lo stesso modulo, ma funzionano benissimo anche
$\{(z_1 = 4+3i),(z_2 = 5):}$ oppure $\{(z_1 = 4+3i),(z_2 = 3+4i):}$
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