Esercizio sui numeri complessi

[piccola881]

rappresentare sul piano di gauss i numeri complessi z tali che $\arg(z^3)=pi/2$

so anche che
cos $\theta$=0
sen $\theta$=1
come procedo nell'esercizio??

[_Tipper]

Ti può essere utile ricordare che l'argomento di un prodotto di numeri complessi equivale alla somma degli argomenti.

[piccola881]

ehm..non ho ben capito..

[_Tipper]

Se $z_1$ e $z_2$ sono due numeri complessi con argomento, rispettivamente, $\theta_1$ e $\theta_2$, allora $"arg"(z_1 \cdot z_2) = \theta_1 + \theta_2$. Ora $z^3 = z \cdot z \cdot z$, sai dunque esprimere l'argomento di $z^3$ in funzione di quello di $z$?

[piccola881]

se z è la somma degli argomenti allora argz=$\pi/6$

oppure ho capito male?

[_Tipper]

Mi sa che hai capito bene.

[piccola881]

scusa ma una volta ke ho trovato l'arg di z come procedo?!?!

[_Tipper]

Quello che devi fare è trovare tutti i numeri complessi che hanno argomento pari a $\frac{\pi}{6}$. Il numero complesso $z$ che ha modulo $\rho$ e argomento $\theta$ è $z = \rho^{i \theta}$, di conseguenza i numeri complessi con argomento pari a $\frac{\pi}{6}$ sono tutti e soli quelli della forma $\rho e^{i \frac{\pi}{6}}$, dove $\rho \in \mathbb{R}^+$.

Se vuoi rappresentare questi numeri sul piano di Argand-Gauss otterrai una semiretta avente un estremo nell'origine, giacente nel primo quadrante, con coefficiente angolare pari a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ (ovviamente dalla semiretta deve essere esclusa l'origine degli assi cartesiani).

[piccola881]

il valore di $\rho$ come fa ad essere calcolato?
so che $\z=rho(costheta+isentheta)=rho(sqrt3/2+i/2)$

[_Tipper]

Non devi determinare nessun valore di $\rho$. Per ogni $\rho \in \mathbb{R}^+$ ottieni un numero complesso con argomento pari a $\frac{\pi}{6}$.