Esercizio sui numeri complessi

[marcog86]

Ciao a tutti
volevo sottoporre il seguente esercizio:
Stabilire per quale valore di a reale, l'equazione:
aZ^2 - 2Z + 1 = 0
ammette come soluzioni numeri complessi coniugati di modulo 1/2. Determinare poi, per questo valore di a, le radici quadrate dellesoluzioni.

Io sono arrivato alla soluzione Z1,2= 1/a +/- [sqrt(1-a)/a]
A questo punto volevo ragionare sul fatto che il modulo 1/2=sqrt(a^2+b^2) però non riesco a venirne fuori.

Qualcuno ha qualche idea?

Grazie

[pilloeffe]

Ciao marcog86,

Usando $z$ minuscolo che è più comodo, le due soluzioni per $a \ne 0 $ in effetti sono le seguenti:

$z_1 = 1/a + \sqrt{1 - a}/a $

$z_2 = 1/a - \sqrt{1 - a}/a $

Se le soluzioni devono essere complesse coniugate, allora è chiaro che $a $ non può valere $1$ ed il discriminante deve essere negativo, ovvero deve essere $a > 1 $ e quindi le due soluzioni si possono riscrivere nella forma seguente:

$z_1 = 1/a + i \sqrt{a - 1}/a $

$z_2 = 1/a - i \sqrt{a - 1}/a $

In base alle richieste dell'esercizio deve essere $|z_1| = |z_2| = 1/2 $, per cui si ha:

$\sqrt{1/a^2 + (a - 1)/a^2} = 1/2 \implies a = 4 $

Per $a = 4 $ le due soluzioni diventano le seguenti:

$z_1 = 1/4 + i \sqrt{3}/4 $

$z_2 = 1/4 - i \sqrt{3}/4 $

A questo punto dovresti essere in grado di completare l'esercizio autonomamente...

[marcog86]

Ero arrivato anche io alla conclusione che il discriminante doveva essere minore di zero. Però non avevo mai provato ad andare avanti così.

Grazie
Marco