Esercizio sui numeri complessi
Ciao a tutti! Sto studiando da poco i numeri complessi. Purtroppo il mio professore fa solo teoria e non ci ha mai fatto fare mezzo esercizio. Ho svolto io alcuni esercizi dei quali però non conosco i risultati quindi vorrei postarne qualcuno ed avere delle conferme o (più probabilmente) delle correzioni 
$ z^6=(1-i)^3 $
$ z=\root(6)((1-i)^3) $
$ z=root(2)((1-i)) $
da qui ho ricavato il modulo $\sqrt2$ e l'argomento $-(\Pi)/4$
da cui:
$ z=root(2)([\sqrt2,-(Pi)/4]) $ (Non riesco ad inserire le parentesi quadre e la virgola, quindi sotto la radice ci sono l'argomento ed il modulo)
ed infine ricavo:
$z=\root(2)(\sqrt2) $ $ (-\Pi/4+2K\Pi)/2$ (sono sempre modulo e argomento)
quindi posso scriverla in forma trigonometrica che varierà al variare di K.
Attendo le vostre correzioni ed i vostri suggerimenti. Credo anche che avrei dovuto metterci +/- visto che la radice ha indice pari. Ad ogni modo siate clementi
GRAZIE di cuore a tutti!!!
$ z^6=(1-i)^3 $
$ z=\root(6)((1-i)^3) $
$ z=root(2)((1-i)) $
da qui ho ricavato il modulo $\sqrt2$ e l'argomento $-(\Pi)/4$
da cui:
$ z=root(2)([\sqrt2,-(Pi)/4]) $ (Non riesco ad inserire le parentesi quadre e la virgola, quindi sotto la radice ci sono l'argomento ed il modulo)
ed infine ricavo:
$z=\root(2)(\sqrt2) $ $ (-\Pi/4+2K\Pi)/2$ (sono sempre modulo e argomento)
quindi posso scriverla in forma trigonometrica che varierà al variare di K.
Attendo le vostre correzioni ed i vostri suggerimenti. Credo anche che avrei dovuto metterci +/- visto che la radice ha indice pari. Ad ogni modo siate clementi
GRAZIE di cuore a tutti!!!
Risposte
ciao Steppox
se vuoi fare la radice quadrata di $1-i$ devi procedere così
prima il modulo... $|1-i|=sqrt2$
poi cosi
$1-i=sqrt2(1/sqrt2 - 1/sqrt2 i) = $
$= sqrt2(cos ((7pi)/4) + i sen (7pi)/4) = sqrt2 e^(i(7pi)/4)$
e le radici quadrate sono (formula di de moivre)
$z_1=root(4)(2) e^(i(7pi)/8)$
$z_2=root(4)(2) e^(i(15pi)/8)$
prova adesso invece a fare daccapo quello che ti chiede il problema... fai prima $(1-i)^3$ e poi trova le sei radici seste di tale numero
se vuoi fare la radice quadrata di $1-i$ devi procedere così
prima il modulo... $|1-i|=sqrt2$
poi cosi
$1-i=sqrt2(1/sqrt2 - 1/sqrt2 i) = $
$= sqrt2(cos ((7pi)/4) + i sen (7pi)/4) = sqrt2 e^(i(7pi)/4)$
e le radici quadrate sono (formula di de moivre)
$z_1=root(4)(2) e^(i(7pi)/8)$
$z_2=root(4)(2) e^(i(15pi)/8)$
prova adesso invece a fare daccapo quello che ti chiede il problema... fai prima $(1-i)^3$ e poi trova le sei radici seste di tale numero
"mazzarri":
ciao Steppox
se vuoi fare la radice quadrata di $1-i$ devi procedere così
prima il modulo... $|1-i|=sqrt2$
poi cosi
$1-i=sqrt2(1/sqrt2 - 1/sqrt2 i) = $
$= sqrt2(cos ((7pi)/4) + i sen (7pi)/4) = sqrt2 e^(i(7pi)/4)$
e le radici quadrate sono (formula di de moivre)
$z_1=root(4)(2) e^[i(7pi)/4]$
$z_2=root(4)(2) e^(i(15pi)/8)$
prova adesso invece a fare daccapo quello che ti chiede il problema... fai prima $(1-i)^3$ e poi trova le sei radici seste di tale numero
Ciao Mazzarri e innanzitutto grazie per la risposta.
Quindi procedendo con ordine dovrei fare così:
$(1-i)^3$
ricavo il modulo $\sqrt2$ e l'argomento $ (7\pi)/4$
e facendo la potenza mi verrebbe il modulo $sqrt(2^3)$ e l'argomento $(21\pi)/4$
quindi lo scrivo in forma esponenziale:
$\sqrt(2^3)e^(i(21\pi)/4)$
è giusto?? Da quì poi come le trovo esattamente le sei radici? Purtroppo non riesco ad applicare de moivre...
se ho ben capito il modulo verrebbe $root(8)(2^3)$ per tutte le 6 radici... l'argomento invece come lo calcolo?
Grazie ancora per l'aiuto!!!
No il modulo e
$root (6) sqrt (2^3)= root (12) (2^3)=root (4) 2$
La formula di de moivre dice poi che
$root (6) z = root (4) 2 e^((21 pi/4 + 2 k pi)/6) $
Tieni anche conto del fatto che
$7 pi/4=-pi/4$
Ai fini del tuo calcolo
$root (6) sqrt (2^3)= root (12) (2^3)=root (4) 2$
La formula di de moivre dice poi che
$root (6) z = root (4) 2 e^((21 pi/4 + 2 k pi)/6) $
Tieni anche conto del fatto che
$7 pi/4=-pi/4$
Ai fini del tuo calcolo
"mazzarri":
No il modulo e
$root (6) sqrt (2^3)= root (12) (2^3)=root (4) 2$
La formula di de moivre dice poi che
$root (6) z = root (4) 2 e^((21 pi/4 + 2 k pi)/6) $
Tieni anche conto del fatto che
$7 pi/4=-pi/4$
Ai fini del tuo calcolo
Hai ragione... avevo fatto 6+2 invece che 6x2. Ma non ho capito un' ultima cosa:
Da dove le tiro fuori le 6 radici?
Partendo da
$root (4)(2)e^(((21\pi)/4+2k\pi)/6) $
Come le ricavo le 6 radici?
Cioè z1,z2,....,z6?
Semplice... $k$ varia da $0$ a $5$
Al variare di $k$ hai 6 radici
però, per semplicità di calcolo... usa $-pi/4$ al posto di $7 pi/4$
la radice sesta dovrebbe essere di $-3 pi/4$ anzichè di $21 pi/4$... meglio!
Al variare di $k$ hai 6 radici
però, per semplicità di calcolo... usa $-pi/4$ al posto di $7 pi/4$
la radice sesta dovrebbe essere di $-3 pi/4$ anzichè di $21 pi/4$... meglio!
"mazzarri":
Semplice... $k$ varia da $0$ a $5$
Al variare di $k$ hai 6 radici
però, per semplicità di calcolo... usa $-pi/4$ al posto di $7 pi/4$
la radice sesta dovrebbe essere di $-3 pi/4$ anzichè di $21 pi/4$... meglio!
GRAZIEEEEEEEEEEEEEEEEEE!!!
Allora volendo fare l'esercizio come si deve:
$z^6=(1-i)^3$
ricavo il modulo $\sqrt2$ e l'argomento $ -\pi/4$
svolgo la potenza ed ottengo il modulo $\sqrt(2^3)$ e l'argomento $ -(3\pi)/4$
quindi lo scrivo come $\sqrt(2^3)e^(i((-3\pi)/4)) $
poi con de moivre diventa:
$root(4)(2)e^(i((-3\pi)/4+2k\pi)/6) $
e da qui ricavo le 6 radici che sono:
$z_1=root(4)(2)e^(i((-3\pi)/24)) $ cioè $root(4)(2)e^(i((-1\pi)/8)) $
$z_2=root(4)(2)e^(i(5\pi)/24) $
$z_3=root(4)(2)e^(i(13\pi)/24) $
$z_4=root(4)(2)e^(i(21\pi)/24) $cioè $root(4)(2)e^(i(7\pi)/8) $
$z_5=root(4)(2)e^(i(29\pi)/24) $
$z_6=root(4)(2)e^(i(37\pi)/24) $
così è giusto? Ti prego dimmi di si
direi di si
"mazzarri":
direi di si
Grazie infinitamente! Perdonami se approfitto ancora della tua disponibilità... potresti dare un'occhiata a quest altro esercizio?
Calcolare il numero complesso:
$(i/(i-1))^(5/11)$
io l'ho svolto così:
ho ricavato modulo e argomento del numeratore e del denominatore:
$i=[1,\pi/2]$
$i-1=[\sqrt2,(3\pi)/4]$
Facendo il rapporto tra questi due ottengo:
$[1/\sqrt2, -\pi/4]^(5/11)$
Lo scrivo come
$root(11)((1/\sqrt2, -\pi/4)^5)$ (non riesco ad inserire le parentesi quadre)
Svolgo la potenza
$root(11)(1/\sqrt(2^5),-(5\pi)/4)$
e poi la radice ed ottengo
$[root(11)(1/\sqrt(2^5)),((-5\pi)/4+2k\pi)/11)]$
e credo che l'esercizio sia terminato qui.
Che mi dici???
Faccio un piccolo up 
chiamo per semplicità $omega$ il tuo numero complesso
$omega=i/(1-i) = 1/2-1/2 i= sqrt2 /2 e^(-i pi/4)$
fai la quinta potenza
$omega^5= 2^(-5/2) e^(-i 5 pi/4)$
ora le undici radici undicesime
$omega^(5/11) = 2^(-5/22) e^(-i (5 pi/4 +2k pi)/11)$
con $k=0,1,2,...,10$
ciao!!!
$omega=i/(1-i) = 1/2-1/2 i= sqrt2 /2 e^(-i pi/4)$
fai la quinta potenza
$omega^5= 2^(-5/2) e^(-i 5 pi/4)$
ora le undici radici undicesime
$omega^(5/11) = 2^(-5/22) e^(-i (5 pi/4 +2k pi)/11)$
con $k=0,1,2,...,10$
ciao!!!
Scusami ma le radici vanno sempre calcolate tutte quante o si può anche scrivere come hai fatto tu k=0,1,...ecc?
E comunque al di la del tuo procedimento più breve noto con piacere che il risultato è uguale al mio!!!
E comunque al di la del tuo procedimento più breve noto con piacere che il risultato è uguale al mio!!!
mah... esercizi dove ci sono da calcolare 11 radici non se ne vedono molti... al più e richiesto il calcolo di radici seste di solito... io le scriverei comunque tutte per fare l'esercizio bene poi vedi tu
Ok ancora grazie mille!!! Ci risentiamo presto ahahah
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