Esercizio sui numeri complessi
Ciao a tutti! Devo risolvere un esercizio sui numeri complessi:
\(\displaystyle \ \frac{\left| z-i \right|}{\left|z+i \right|}>1 \)
uso la sostituzione cartesiana: \(\displaystyle z=x+iy \)
\(\displaystyle \ \frac{\left| x+i(y-1) \right|}{\left|x+i(y+1) \right|}>1 \)
dalla definizione di modulo in campo complesso so che \(\displaystyle |z|=\sqrt{x^2+y^2} \)
\(\displaystyle \sqrt{\frac{ x^2-(y-1)^2 }{x^2-(y+1)^2}}>1 \)
la radice è maggiore di uno se il suo argomento è maggiore di 1
\(\displaystyle \frac{ x^2-(y-1)^2 }{x^2-(y+1)^2}>1 \)
pongo \(\displaystyle x^2-(y+1)^2 != 0 \)
quindi
\(\displaystyle x^2-(y-1)^2 >x^2-(y+1)^2\)
\(\displaystyle y^2+1-2y >y^2+1+2y\)
\(\displaystyle -y >+y\)
E questo è falso.
E' corretto l'esercizio? Vi ringrazio molto
\(\displaystyle \ \frac{\left| z-i \right|}{\left|z+i \right|}>1 \)
uso la sostituzione cartesiana: \(\displaystyle z=x+iy \)
\(\displaystyle \ \frac{\left| x+i(y-1) \right|}{\left|x+i(y+1) \right|}>1 \)
dalla definizione di modulo in campo complesso so che \(\displaystyle |z|=\sqrt{x^2+y^2} \)
\(\displaystyle \sqrt{\frac{ x^2-(y-1)^2 }{x^2-(y+1)^2}}>1 \)
la radice è maggiore di uno se il suo argomento è maggiore di 1
\(\displaystyle \frac{ x^2-(y-1)^2 }{x^2-(y+1)^2}>1 \)
pongo \(\displaystyle x^2-(y+1)^2 != 0 \)
quindi
\(\displaystyle x^2-(y-1)^2 >x^2-(y+1)^2\)
\(\displaystyle y^2+1-2y >y^2+1+2y\)
\(\displaystyle -y >+y\)
E questo è falso.
E' corretto l'esercizio? Vi ringrazio molto
Risposte
"Mascurzo91":
dalla definizione di modulo in campo complesso so che \(\displaystyle |z|=\sqrt{x^2+y^2} \)
\(\displaystyle \sqrt{\frac{ x^2-(y-1)^2 }{x^2-(y+1)^2}}>1 \)
perchè c'è unmeno tra $x^2$ e $(y+1)^2$ e tra $x^2$ e $(y-1)^2$?
nooo ho sbagliato a scrivere 
comincio da lì:
\(\displaystyle \sqrt{\frac{x^2+(y-1)^2}{x^2+(y+1)^2}}>1 \)
\(\displaystyle \frac{x^2+(y-1)^2}{x^2+(y+1)^2}>1 \)
\(\displaystyle x^2+(y-1)^2>x^2+(y+1)^2 \)
\(\displaystyle (y-1)^2>(y+1)^2 \)
\(\displaystyle y^2+1-2y>y^2+1+2y \)
\(\displaystyle -2y>2y \)
Da cui comunque la soluzione precedente
comincio da lì:
\(\displaystyle \sqrt{\frac{x^2+(y-1)^2}{x^2+(y+1)^2}}>1 \)
\(\displaystyle \frac{x^2+(y-1)^2}{x^2+(y+1)^2}>1 \)
\(\displaystyle x^2+(y-1)^2>x^2+(y+1)^2 \)
\(\displaystyle (y-1)^2>(y+1)^2 \)
\(\displaystyle y^2+1-2y>y^2+1+2y \)
\(\displaystyle -2y>2y \)
Da cui comunque la soluzione precedente
Da $-2y>2y$ segue $-4y>0$ e quindi $y<0$.
grazie mille ciampax 
mi perdo sempre in un bicchiere d'acqua..
dalla relazione che y<0 se mi venisse chiesto di rappresentarlo, sarebbe la parte di piano sotto stante all'asse delle ascisse, giusto?
mi perdo sempre in un bicchiere d'acqua..dalla relazione che y<0 se mi venisse chiesto di rappresentarlo, sarebbe la parte di piano sotto stante all'asse delle ascisse, giusto?
Sì, sottostante (tuttoattaccato!). Che poi, noi in gergo chiamiamo anche "semipiano inferiore". Ma è gergale come cosa, eh? 
Cosa mi dite di
$z=-i$?
E' nel semipiano inferiore ma forse è da escludere.
$z=-i$?
E' nel semipiano inferiore ma forse è da escludere.
"gio73":
Cosa mi dite di
$z=-i$?
E' nel semipiano inferiore ma forse è da escludere.
effettivamente è una condizione che avrei dovuto porre ancora prima di sostituire z con le coordinate cartesiane
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