Esercizio sui numeri complessi
salve a tutti ho dei problemi con risoluzione del seguente esercizio :
Determinare in forma algebrica/cartesiana le radici terze del numero complesso:
$7((sqrt(2)/2)+i(sqrt(2)/2))^4$
io ho fatto così :
$( z/root(3)(7))^(3/4)=((sqrt(2)/2)+i(sqrt(2)/2))$
così da poter calcolare il modulo di $|z|=1$ e il suo Argomento $Arg(z)=pi/4$
fatto ciò, non so come procedere per calcolare le radici 3/4, qualcuno saprebbe dirmi come fare o se magari ho sbagliato qualcosa? Grazie mille in anticipo!
Determinare in forma algebrica/cartesiana le radici terze del numero complesso:
$7((sqrt(2)/2)+i(sqrt(2)/2))^4$
io ho fatto così :
$( z/root(3)(7))^(3/4)=((sqrt(2)/2)+i(sqrt(2)/2))$
così da poter calcolare il modulo di $|z|=1$ e il suo Argomento $Arg(z)=pi/4$
fatto ciò, non so come procedere per calcolare le radici 3/4, qualcuno saprebbe dirmi come fare o se magari ho sbagliato qualcosa? Grazie mille in anticipo!
Risposte
"PaoloC94":
$7((sqrt(2)/2)+i(sqrt(2)/2))^4$
Sono semplicistico, ma in genere preferisco un passo alla volta, cioè prima elevo alla quarta poi estraggo la radice terza.
Certo, se devi per forza farla seduta stante lascia perdere il mio parere spassionato ma concentrati sul come riuscire a trovare quella benedetta potenza (mi sa che è "alla $4/3$" e non "alla $3/4$" come dici dato che estrai la radice terza di quello elevato alla quarta).
In questo secondo caso io innanzitutto esprimerei in forma trigonometrica
$w=\sqrt(2)/2+i (\sqrt(2)/2)$
Ottenendo
$w=\rho (cos(\theta)+i sin(\theta))$
con valori appositi che trovi facendo in questo modo.
Elevare alla quarta $w$ è uno scherzo
$w^4= \rho^4 (cos(4\theta)+i sin(4\theta))= \rho^4 (cos(\varphi)+i sin(\varphi))$.
Ora, $\varphi$ è definito in modo tale che
- $\varphi= 4 \theta$ se $0 \le 4 \theta <2 \pi$
- altrimenti $\varphi$ è l'equivalente di $\theta$ ottenuto sottraendo tante volte il periodo quante necessarie per essere in $[0,2\pi[$.
Ora, siccome l'ultima cosa che ho detto è banale ma l'ho detta malissimo (
), per fare un esempio se $\theta= \pi/3$ abbiamo $4\theta = 4/3 \pi= \varphi$, mentre se $\theta= 2/3 \pi$ abbiamo $4 \theta = 8/3 \pi = 2 \pi + 2/3 \pi$ e $\varphi= 2/3 \pi$.Da quell'ultimo numero occorre partire per trovare una formula "compatta" per tutto (manca solo da estrarre la radice terza). Però, come ho detto all'inizio, preferisco i passaggi intermedi.
"Zero87":
[quote="PaoloC94"]$7((sqrt(2)/2)+i(sqrt(2)/2))^4$
Sono semplicistico, ma in genere preferisco un passo alla volta, cioè prima elevo alla quarta poi estraggo la radice terza.
Certo, se devi per forza farla seduta stante lascia perdere il mio parere spassionato ma concentrati sul come riuscire a trovare quella benedetta potenza (mi sa che è "alla $4/3$" e non "alla $3/4$" come dici dato che estrai la radice terza di quello elevato alla quarta).
In questo secondo caso io innanzitutto esprimerei in forma trigonometrica
$w=\sqrt(2)/2+i (\sqrt(2)/2)$
Ottenendo
$w=\rho (cos(\theta)+i sin(\theta))$
con valori appositi che trovi facendo in questo modo.
Elevare alla quarta $w$ è uno scherzo
$w^4= \rho^4 (cos(4\theta)+i sin(4\theta))= \rho^4 (cos(\varphi)+i sin(\varphi))$.
Ora, $\varphi$ è definito in modo tale che
- $\varphi= 4 \theta$ se $0 \le 4 \theta <2 \pi$
- altrimenti $\varphi$ è l'equivalente di $\theta$ ottenuto sottraendo tante volte il periodo quante necessarie per essere in $[0,2\pi[$.
Ora, siccome l'ultima cosa che ho detto è banale ma l'ho detta malissimo (
), per fare un esempio se $\theta= \pi/3$ abbiamo $4\theta = 4/3 \pi= \varphi$, mentre se $\theta= 2/3 \pi$ abbiamo $4 \theta = 8/3 \pi = 2 \pi + 2/3 \pi$ e $\varphi= 2/3 \pi$.Da quell'ultimo numero occorre partire per trovare una formula "compatta" per tutto (manca solo da estrarre la radice terza). Però, come ho detto all'inizio, preferisco i passaggi intermedi.[/quote]
Ciao Zero87 innanzitutto grazie per la risposta rapida ma non riesco a capire perché quando elevi alla 4 nel forma trigonometrica teta sia nel seno che nel coseno viene moltiplicato per 4......grazie ancora per la risposta
"PaoloC94":
Ciao Zero87 innanzitutto grazie per la risposta rapida ma non riesco a capire perché quando elevi alla 4 nel forma trigonometrica teta sia nel seno che nel coseno viene moltiplicato per 4......grazie ancora per la risposta
Prego...
... semplicemente perché se non mi sono rincretinito di colpo (ci può stare
) ricordo che se$w=\rho (cos(\theta)+i sin(\theta))$
allora
$w^n = \rho^n (cos(n \theta)+i (sin (n \theta))$.
Credo che stavolta ho ancora la mia lucidità (ho ricontrollato, ihih
)http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_complesso#Potenze
Per semplificare (se conosci la forma esponenziale), puoi notare che:
\[
\frac{\sqrt{2}}{2} +\imath\ \frac{\sqrt{2}}{2} = e^{\imath\ \frac{\pi}{4}}
\]
cosicché:
\[
\left( \frac{\sqrt{2}}{2} +\imath\ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^4 = e^{\imath\ 4\ \frac{\pi}{4}} = e^{\imath\ \pi} =-1\; ;
\]
quindi il tuo esercizio ti chiede di determinare le tre radici terze distinte di \(-7\).
\[
\frac{\sqrt{2}}{2} +\imath\ \frac{\sqrt{2}}{2} = e^{\imath\ \frac{\pi}{4}}
\]
cosicché:
\[
\left( \frac{\sqrt{2}}{2} +\imath\ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^4 = e^{\imath\ 4\ \frac{\pi}{4}} = e^{\imath\ \pi} =-1\; ;
\]
quindi il tuo esercizio ti chiede di determinare le tre radici terze distinte di \(-7\).
"gugo82":
quindi il tuo esercizio ti chiede di determinare le tre radici terze distinte di \(-7\).
Per questo preferisco fare i passaggi intermedi.
"Zero87":
[quote="gugo82"]quindi il tuo esercizio ti chiede di determinare le tre radici terze distinte di \(-7\).
Per questo preferisco fare i passaggi intermedi.
[/quote]cavolo hai ragione sono abituato a scrivere subito in forma trigonometrica saltando la forma esponenziale grazie mille per la spiegazione
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